From 6f06a9513fe78165524d3ba4c4aa8abd91a46d96 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: RickGelhausen <rick.gelhausen@gmail.com>
Date: Tue, 25 Jun 2024 16:24:31 +0200
Subject: [PATCH] fix

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 exercise-sheet-5.Rmd | 52 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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diff --git a/exercise-sheet-5.Rmd b/exercise-sheet-5.Rmd
index afbe37c..ded2918 100644
--- a/exercise-sheet-5.Rmd
+++ b/exercise-sheet-5.Rmd
@@ -227,7 +227,7 @@ Dafür implementiert acados ein SQP-Verfahren sowie numerische Integratoren für
 Zum Lösen der im SQP-Verfahren anfallenden QP wird auf moderne open-source QP-Löser zurückgegriffen, z.B. HP ipm, qpOASES, OSQP, DQAP.
 Optimalsteuerungsprobleme werden mit
 
-```{r, echo=FALSE, out.width='50%', fig.align='center', fig.show='hold', fig.cap='**Abbildung 4** - Links: Skizze des Pendels. Rechts: Trajektorie des Pendels mit Initialzustand $x_0 = \\left[\\frac{3\\pi}{4} \\quad 0\\right]^T$ und ohne Steuerung, $u_k = 0 \\forall k$.'}
+```{r, echo=FALSE, out.width='50%', fig.align='center', fig.show='hold', fig.cap='**Abbildung 5** - Illustration des Pendels auf einem Wagen.'}
 knitr::include_graphics("figures/sheet-5/p6.png")
 ```
 
@@ -247,3 +247,53 @@ Der Wagen hat die Masse $M$, und an der Spitze des Pendels ist ein Ball mit Mass
 Auf die Pendelmasse wirkt außerdem die Erdbeschleunigung $g$.
 Die horizontale Geschwindigkeit des Wagens ist $v_x$ und die Winkelgeschwindigkeit des Pendels ist $\omega$.
 Durch Zusammenfassen der (Winkel)positionen und -geschwindigkeiten im Zustandsvektor $x$ können wir das System durch folgende Differentialgleichung beschreiben:
+
+
+$$
+\dot{x} =
+\begin{bmatrix}
+v_x \\
+\omega
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+-m \omega^2 \sin \theta + m \omega \cos \theta \sin \theta + F \\
+-\frac{m \omega^2 \cos^2 \theta + M (1 - \cos^2 \theta) + \frac{(m + M) g \sin \theta}{l (1 - F \cos \theta)}}{M + \frac{F \cos^2 \theta}{m}}
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+Unser Ziel ist es nun das Pendel aus einer herabhängenden Position in eine aufrechte Position ($\beta = 0$) zu schwingen, während der Wagen am Ende die Position $p_x = 0$ haben soll.
+Unser Steuerungseingang ist hierbei $u = F$. Dies soll innerhalb des Zeitintervalls $t \in [0, T]$ passieren.
+Wir drücken dies als das folgende Optimalsteuerungsproblem aus,
+
+$$
+\min_{x(\cdot), u(\cdot)} \int_0^T \frac{1}{2} x(t)^T Q x(t) + \frac{1}{2} u(t)^T R u(t) dt + \frac{1}{2} x(T)^T Q_e x(T)
+$$
+
+unter den Nebenbedingungen
+
+$$
+\begin{aligned}
+x(0) &= x_0, \\
+\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)), \quad t \in [0, T], \\
+-u_{\text{max}} &\leq u(t) \leq u_{\text{max}}, \quad t \in [0, T].
+\end{aligned}
+$$
+
+wo bei $\hat{x}_0$ der gegebene initiale Zustand des Systems ist.
+Anders als wir es bisher in der Vorlesung gesehen haben, sind in dem obigen Optimalsteuerungsproblem die Entscheidungsvariablen $x(\cdot)$ und $u(\cdot)$ Funktionen der Zeit.
+Es handelt es sich deshalb nicht um ein NLP, und wir können es auch nicht ohne weiteres auf einem Computer repräsentieren.
+Hierfür muss es erst durch numerische Integration in der Zeit diskretisiert werden, wie wir es bereits in der vorherigen Aufgabe mit dem RK4-Verfahren gemacht haben.
+Da allerdings acados dies für uns übernimmt und eine Vielzahl effizienter Integrationsverfahren hierfür bereitstellt, übergeben wir das Optimalsteuerungsproblem in kontinuierlicher Zeit.
+
+**Aufgaben:**
+
+1. Installieren Sie acados sowie das zugehörige Python-Interface.
+Die Links dafür sind weiter oben gegeben. Versichern Sie sich, dass Ihre Installation funktioniert, indem Sie das Minimalbeispiel `minimal_example_ocp.py` ausführen (vgl. Installationsanleitung Python-Interface).
+2. Das Optimalsteuerungsproblem ist für Sie bereits in `cartpole.py` implementiert. Machen Sie sich kurz mit dem Code vertraut und führen Sie ihn dann aus.
+3. Wir wollen eine zusätzliche Nebenbedingung auf die Geschwindigkeit $v_x$ einführen. Diese ist
+
+$$
+-u_{\text{max}} \leq u(t) \leq u_{\text{max}}, \quad t \in [0, T],
+$$
+
+mit $v_x = 5 \, \text{m/s}$. Erweitern Sie `minimal_example_ocp.py` um diese Nebenbedingung, und lösen Sie das Optimalsteuerungsproblem erneut.