elliptic_curve_cryptography.tex

\section{Эллиптические кривые}\label{section-elliptic-curve-cryptosystems}
\selectlanguage{russian}

Существуют аналоги криптосистемы Эль-Гамаля, в которых вместо проблемы дискретного логарифма в мультипликативных полях используется проблема дискретного логарифма в группах точек эллиптических кривых над конечными полями (обычно $GF(p)$ либо $GF(2^n)$). Математическое описание данных полей приведено в разделе~\ref{section-math-ec-groups}. Нас же интересует следующий факт: для группы точек эллиптической кривой над конечным полем $\group{E}$ существует быстро выполнимая операция -- умножение целого числа $x$ на точку $A$ (суммирование точки самой с собой целое число раз):
\[ \begin{array}{l}
	x \in \group{Z}, \\
	A, B \in \group{E}, \\
	B = x \times A. \\
\end{array} \]

И получение исходной точки $A$ при известных $B$ и $x$ (<<деление>> точки на целое число), и получение целого числа $x$ при известных $A$ и $B$ являются сложными задачами. На этом и основаны алгоритмы шифрования и электронной подписи с использованием эллиптических кривых над конечными полями.

\input{ECIES.tex}

\input{GOST_R_34.10-2001.tex}