cap5.tex

\documentclass[main.tex]{subfiles}

\begin{document}

%\end{comment}
\paraAmbos

\chapter{Troca de variáveis e composição de funções}

%\end{comment}
\paraAlunos

\section{Apresentação}

Este talvez seja o primeiro capítulo cujo foco é muito mais uma ferramenta (ou duas) do que um tópico em si mesmo. O uso que se faz de troca de variáveis e composição de funções ao longo das disciplinas de Cálculo é instrumental, com intuito de viabilizar alguma técnica de deriavação ou integração ou mesmo para o cálculo de algum limite.

Exatamente por esse motivo, esses dois itens acabam não sendo abordados explicitamente pelos professores dessas disciplinas que, conscientemente ou não, acabam assumindo que os seus estudantes tem uma fluência mínima em ambos.

O que faremos ao longo deste capítulo é explorar diversos casos de troca de variáveis e de composição de funções visando explicitamente os usos que se faz em Cálculo Diferencial e Integral 1, de limites até integrais.

\section{Pré-requisitos e Auto-avaliação inicial}

Os pré-requisitos para este capítulo são:
\begin{itemize}
 \item Resolução de equações do primeiro e segundo graus;
 \item Noções básicas sobre funções.
\end{itemize}

Esses tópicos não serão cobertos durante as atividades de tutoria. Se você acha que não sabe o suficiente sobre algum deles, sugerimos que procure material de apoio antes de começar a resolver as questões desse capítulo.

Antes de começar, indique o quanto você acha que sabe sobre os seguintes itens:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{25mm}||p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|} 
 \hline
   & Nada & Muito pouco & Noções gerais & Muito\\
 \hline
 Usar troca de variáveis para resolver uma equação &  &  &  &  \\ 
 \hline
 Obter a composta de duas funções dadas &  &  &  &  \\
 \hline
 Obter a função inversa de uma função dada &  &  &  &  \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

%\end{comment}
\paraAmbos

\section{Questões diagnósticas}

\begin{diagnostico}
Resolva a equação $x^6-9x^3+8=0$.
\end{diagnostico}

\begin{diagnostico}
Seja $f(x)=2x+1$ e $g(x)=3-x^2$.
\begin{enumerate}[a)]
  \item Qual é o valor de $f(g(1))$?
  \item Qual é a expressão algébrica de $f(g(x))$?
\end{enumerate}
\end{diagnostico}

\begin{diagnostico}
Considere a função $h(x)=6x-9$.
\begin{enumerate}[a)]
  \item Obtenha $h^{-1}(x)$, ou seja, a função inversa de $h(x)$.
  \item Qual é o valor de $h^{-1}(3)$?
\end{enumerate}
\end{diagnostico}

\paraTutores
\subsection{Gabarito}

\section{Gabarito}

\textbf{Questão 1:} $1$ e $2$. \textbf{Questão 2:} a) $f(g(1)=5$, b) $f(g(x)=-2x^2+7$. \textbf{Questão 3:} a) $h^{-1}(x)=\frac{y+9}{6}$, b) $2$.

\section{Quadro de orientação}

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c c c |c|} 
 \hline
 1 & 2A e 2B & 3A e 3B & Onde começar\\
 \hline
 C & E & E & Questão 4 \\ 
 \hline
 C & C & C & Questão 12 \\ 
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Comentários iniciais}

O grande objetivo deste capítulo é revisar troca de variáveis e composição de funções tendo em mente os usos que se faz destas para obter derivadas (via regra da cadeia) e integrais (via troca de variáveis). Seguindo a tonica dos capítulos anteriores, a ênfase não é na fluência com os procedimentos (isso pode ser feito nas listas de MA111) mas no fortalecimento mais conceitual.

Ao final do capítulo, também revisitamos o conceito de função inversa também seguindo uma ênfase mais conceitual.

O material conscientemente evita discsussões relacionadas a domínio e imagens pois a abordagem dada a funções aqui não segue uma rota formal. Caso necessário, o professor de MA111 deverá cubrir esses aspectos.

%\end{comment}
\paraAmbos

\newpage

\section{Questões}

Lembre-se de checar com seu tutor em qual questão você deve começar.

\subsection*{Troca de variáveis em equações}

Em algumas circunstâncias uma equação pode parecer não se encaixar em nenhum dos casos que sabemos resolver. Por exemplo, você provavelmente não conhece nenhuma estratégia para resolver uma equação que envolva $x^4$. Nesses casos, uma das possibilidades é tentarmos converter a equação para um formato mais simples ou familiar e uma das maneiras de conseguir esse efeito é fazendo uma troca de variáveis estratégica.

Por exemplo, a equação $x^4-13x^2+36=0$ é uma equação polinomial de quarto grau, para a qual ninguém costuma saber um método de resolução. Entretanto, note como ela se parece com uma equação quadrática (com $x^4$ onde gostaríamos que fosse $x^2$ e $x^2$ onde gostaríamos de um $x$). Para de fato transformá-la em uma equação quadrática podemos fazer a troca de variáveis $x^2=t$ (o que significa que $x^4=t^2$). Fazendo a troca, obtemos $t^2-13t+36=0$.

\begin{questao}
Com base nas equações discutidas acima, responda os itens a seguir.
\begin{enumerate}[a)]
\item Obtenha os valores de $t$ que satisfazem a equação $t^2-13t+36=0$.
\item Lembrando que a troca de variáveis que fizemos foi $x^2=t$, obtenha os valores de $x$ referentes aos valores de $t$ obtidos no item anterior.
\item Você encontrou quatro valores para $x$ no item anterior (caso contrário, cheque suas respostas com a de seus colegas ou tutor). Verifique, substituindo em $x^4-13x^2+36=0$, que todos satisfazem essa equação.
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{O objetivo desta questão é introduzir a ideia de troca de variáveis com um caso bastante simples. É importante que os estudantes entendam a diferença entre as soluções para a equação original e para a equação transformada.}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $9$ e $4$, b) $\pm3$ e $\pm2$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

O que fizemos foi uma troca de variáveis que viabilizou a resolução de uma equação que inicialmente parecia fora do alcance das ferramentas que conhecemos. Algumas vezes a troca de variáveis será fácil de notar analisando a equação, outras vezes não muito.

\subsection*{Trocas de variáveis}

\begin{questao}
Resolva cada uma das equações a seguir usando a troca de variáveis dada.
\begin{enumerate}[a)]
\item $(x^2+1)^2-6(x^2+1)+5=0$, usando a troca $t=x^2+1$.
\item $x+\sqrt{x+2}=18$, usando a troca $a=\sqrt{x+2}$.
\item $2^x-4^x=-2$, usando a troca $y=2^x$.
\item $(x^2-5)^2-1=0$, usando uma troca a sua escolha.
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{
Questão para promover um pouco de prática com troca de variáveis, mas as questões levantam aspectos conceituais importantes:
\begin{itemize}
 \item O item a resulta em apenas 3 soluções, ao invés das 4 esperadas ($0$ é uma raiz dupla);
 \item O item b envolve duas trocas diferentes ($a=\sqrt{x+2}$ e $x=a^2-2$);
 \item O item c tem uma apresentação um pouco diferente que exige a percepção de $4^x$ como sendo igual a $(2^x)^2$. Além disso, um dos valores de $y$ não gera uma solução válida para a equação original.
 \item O item d, além de não dar a troca, vai resultar em raízes não inteiras.
\end{itemize}
}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $0$, $2$ e $-2$, b) $14$ e $23$, c) $1$, d) $\pm2$, $\pm\sqrt{6}$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

Nas equações anteriores, ao voltarmos para a variável original acabamos ``perdendo'' alguma das possíveis soluções. Isso é normal e pode acontecer dependendo da equação e da troca de variável realizada. Por esse motivo, é especialmente importante checar as soluções obtidas especialmente uando as trocas de variáveis envolvendo operações com domínio limitado, como raízes e logaritmos.

\subsection*{Troca de variáveis em expressões}

Ao calcularmos limites, por exemplo, lidamos com expressões algébricas ao invés de equações. Nesse contexto, trocas de variáveis podem ser úteis para transformar as expressões dadas para um formato mais simples. Por exemplo, calcular o limite de uma expressão como $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$ é mais trabalhoso do que de uma expressão como $\frac{y^2+1}{y}$, pois essa última pode ser facilmente convertida em parcelas mais simples: $\frac{y^2+1}{y}=\frac{y^2}{y}+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{y}$.

A troca de variável usada para transformar a primeira na segunda foi $y=\sqrt{x-1}$. Essa ideia é relativamente simples de ter já que o valor de $y$ é o denominador inteiro (denominadores complicados são muito mais trabalhosos do que numeradores complicados). Mas da troca no denominador, o numerador precisa ser atualizado para a nova variável. Como $y=\sqrt{x-1}$, temos que $y^2=x-1$ e, portanto, $y^2-1=x$. Dessa forma, podemos trocar todas as ocorrências de $x$ por $y^2-1$ completando a troca de variáveis.

\notaTutor{A primeira troca se parece bastante com  exemplo feito anteriormente, entretanto, permite uma simplificação extra ao final. Se a trocar realizada for $t=\sqrt{4-x}$, a expressão obtida será $\frac{t-2}{t-4}$ que, por sua vez, pode ser simplificada da seguinte maneira:$\frac{t-2}{t-4}\frac{t-2}{(t-2)(t+2)=\frac{1}{t+2}}$. Não é fundamental que os estudantes notem essa última simplificação, já que este não é o foco deste capítulo, mas você pode chamar a atenção para esse aspecto caso julgue adequado.

O item b depende da percepção de que a expressão $\sin(x)/x$ costuma ser útil no cálculo de limites, portanto, vale a pena ``forçar'' a sua ocorrência.

Por fim, apesar de o item c permitir poucas simplificações, uma troca que faça com que a potência aparece no logaritmando pode ser útil, já que logaritmos permitem a ``remoção'' de potências. É esperado que estudantes fiquerm hesitantes nesse item, por acharem que a trocar de variável não vai simplificar substancialmente a expressão. Mostre que a troca $t=\sqrt{x}$ elimina uma raiz acrescentando apenas uma multiplicação por número real.}

\begin{questao}
Faça uma troca de variável que mude as expressões abaixo para um formato que você considere mais simples para manipulações algébricas. Não se esqueça de indicar a troca utilizada.
\begin{enumerate}[a)]
\item $\frac{sqrt{4+x}-2}{x}$
\item $x \cdot \sin(\frac{1}{x})$
\item $\sqrt{x} \cdot log x$
\end{enumerate}
\end{questao}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $\frac{1}{t+2}$, b) $\frac{\sin(t)}{t}$, com $t=1/x$, c) $2t \cdot log(t)$, com $t=\sqrt{x}$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

Em algumas situações, pode parecer que uma determinada troca de variáveis não simplificou de fato uma expressão. Na verdade, em várias situações isso depende de quem está resolvendo a questão. Algumas pessoas preferem evitar denominadores complicados, outros raízes complicadas e outros preferem evitar trocas de variáveis. A decisão de qual troca usar pode depender das habilidades que você se sente mais confortável em usar. Mas é desejável ter familiaridade com esse recurso, pois certas situações dependem fortemente dela.

\subsection*{Juntando funções}

Assim como os números reais, funções podem ser combinadas através de operações. As possibilidades mais simples são soma, subtração, multiplicação e divisão. Por exemplo, se temos $f(x)=2x+3$ e $g(x)=5^x$, então a multiplicação dessas funções é representada por $f \cdot g$ e pode ser obtida multiplicando-se as expressões algébricas dessas funções: $f \cdot g = (2x+3)(5^x)$. Do mesmo modo, a soma dessas funções é dada por: $f+g = 2x+3+5^x$.

O que veremos na próxima questão é uma outra maneira de combinar funções, a \textbf{composição de funções}.

\begin{questao}
A fórmula $C=\frac{5(F-32)}{9}$ permite a conversão de temperaturas em Fahrenheit para Celsius. A fórmula $K=C+273$ permite a conversão de uma temperatura em Celsius para Kelvin.
\begin{enumerate}[a)]
\item Quanto é 50\degree Fahrenheit em Celsius?
\item Quanto é 50\degree Fahrenheit em Kelvin?
\item Quanto é 77\degree Fahrenheit em Kelvin?
\item Obtenha uma fórmula que converta temperaturas Fahrenheit diretamente para Kelvin.
\item Use essa fórmula para obter converter 23\degree Fahrenheit em Kelvin.
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{Essa questão introduz composição de funções através de um exemplo contextualizado. Nesse caso, a contextualização facilita o entendimento dos significados dessa operação, mas também limita as possibilidades (por exemplo, não faria sentido obter a composta $C(K)$).}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $10\degree$ celsius, b) $283$ kelvin, c) $298$ kelvin, d) $K=\frac{5(F-32)}{9}+273$, e) $267$ kelvin.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

Nessa questão, essas expressões que foram chamadas de fómulas podem ser vistas como funções. Usando a nomenclatura convencional, podemos escrevê-las da seguinte maneira: $C(f)=\frac{5(f-32)}{9}$ e $K(c)=c+273$. Quando escrevemos $C(f)$ estamos simplesmente deixando claro que a variável $C$ varia de acordo com a variável $f$. O que você fez no item d da questão acima foi compor as funções $C(f)$ e $K(c)$ de modo a obter uma nova função $K(f)$ que obtem o valor em Kelvin de uma temperatura dada originalmente em Fahrenheit.
Formalmente, dizemos que $K(f) = K(c) \circ C(f)$. Se distinguirmos explicitamente $K(f)$ de $K(c)$ chamando a primeira de $K_2$, por exemplo, podemos escrever apenas que $K_2=K \circ C$ ou que $K_2(f) = K(C(f))$.

O diagrama abaixo mostra uma maneira de visualizar o efeito dessas funções em conjuntos de valores dados. A função $C(f)$ toma valores em Fahrenheit e os converte em valores em Celsius. A função $K(c)$ toma valores em Celcisus e os converte em Kelvin. Já a função composta $K(C(f))$ toma valores em Fahrenheit e os converte diretamente em Kelvin, fazendo o trabalho das duas funções de uma vez so.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{./img/c5q5.png}
\end{figure}

Vamos explorar a fundo a ideia de funções compostas nas próximas questões.

\subsection*{Composição de funções}

Vamos voltar à notação tradicional de função.

\begin{caixaExemplo}
A partir das funções $f(x)=2x+3$ e $g(x)=5^x$, podemos obter as seguintes composições:

$$ f \circ g = f(g(x)) = 2 \cdot 5^x + 3 $$
$$ g \circ f = g(f(x)) = 5^{2x+3}$$
\end{caixaExemplo}

Para obter $f(g(x))$, que é o mesmo que $f \circ g$, devemos substituir a variável $x$ na função $f(x)$ pela função $g(x)$.

$$ f(x)=2x+3 \newline $$
$$ f(\mathbf{x})=2 \mathbf{x}+3  $$
$$ f(\mathbf{g})=2 \mathbf{g}+3  $$
$$ f(\mathbf{g(x)})=2 \mathbf{g(x)}+3  $$
$$ f(\mathbf{g(x)})=2 \cdot \mathbf{5^x}+3  $$
$$f(g(x))=2 \cdot 5^x+3  $$

Caso você não tenha entendido o que foi feito acima, sugerimos o vídeo \href{https://youtu.be/-zW0icJc51k}{youtu.be/-zW0icJc51k}.

\begin{questao}
Responda aos itens abaixo considerando as duas funções usadas como exemplo logo acima.
\begin{enumerate}[a)]
\item Qual é o valor de $f(g(1))$?
\item Para qual valor de $x$ temos $f(g(x))=53$?
\item Qual é o valor de $g(f(1))$?
\item Para qual valor de $x$ temos $g(f(x))=5$?
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{O objetivo dessa questão é voltar para um contexto mais abstrato mas ainda procedendo com bastante calma para ter certeza de que o conceito de função composta foi assimilado.}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $13$, b) $x=2$, c) $5^5$, d) $x=-1$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

É importante que esteja claro pra você que $f(g(x))$ e $g(f(x))$ são funções diferentes. Veja que os itens a e d acima resultaram em valores diferentes. Além disso, a expressão algébrica de $f(g(x))$ é diferente da de $g(f(x))$.

\subsection*{Descompondo funções}

Embora composição de funções seja fundamental para modelar fenômenos complexos, ao longo da disciplina de cálculo é bastante útil conseguir ``descompor'' uma função dada em duas funções mais simples.

Por exemplo, a função $f(x)=\sin(x^2-9)$ pode ser vista como uma composição das funções $g(x)=\sin(x)$ e $h(x)=x^2-9$. Nesse caso, $f(x)=g(h(x))$. Também poderíamos usar as funções $i(x)=\sin(x-9)$ e $j(x)=x^2$ e escrever corretamente que $f(x)=i(j(x))$. A escolha da primeira ou segunda composição depende dos seus objetivos. Em Cálculo, você usará essa estratégia para calcular a derivada de uma função, portanto, seu foco deve ser em quebrar a função em partes que você saiba derivar.

\begin{questao}
Escreva as funções abaixo como a composição de duas funções a sua escolha. Indique tanto as novas funções como a ordem em que foram compostas para obter a função dada.
\begin{enumerate}[a)]
\item $a(x)=3+\cos^2(x)$
\item $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-5}}$
\item $p(x)=3 \cdot 2^{x-1}$
\item $t(x)=(\sin(x)+1)(\sin(x)+2)$
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{
Esse tipo de exercício é importante para um bom uso da regra da cadeia. Cada item admite mais do que uma resposta e você pode incentivar a comparação com as soluções de colegas tendo em mente o critério ``qual dessas decomposições são mais fáceis de derivar isoladamente?'' ou apenas``você saberia derivar as novas funções obtidas?''. As respostas a essas perguntas também não são únicas, mas podem ajudar como critério de exclusão de algumas das possibilidades.
}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $a(x)=b(c(x))$, $b(x)=3+x^2$ e $c(x)=cos(x)$, b) $f(x)=g(h(x))$, $g(x)=1/x$ e $h(x)=\sqrt{x-5}$, c) $p(x)=q(r(x))$, $q(x)=3.2^x$ e $r(x)=x-1$, d) $t(x)=u(v(x))$, $u(x)=x(x+1)$ e $v(x)=sen(x)+1$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

\subsection*{Composição ou multiplicação}

Como dito anteriormente, o objetivo de descompor uma função dada nas disciplinas de cálculo é viabilizar o cálculo de derivadas (pela regra da cadeia) ou integrais. Porém, em alguns casos quebrar uma função dada como um produto de duas funções mais simples pode ser mais útil (graças à regra do produto).

Considere, por exemplo, a função $f(x)=(3x+1).\sin(x)$. Se tentarmos reescrevê-la como uma composição de duas funções, poderíamos usar $g(x)=3x+1$, mas a outra função precisaria ser $h(x)=x.\sin(\frac{x-1}{3})$ para que ao calcularmos $h(g(x))$ o argumento de $\sin$ fosse igual a $x$. Nesse caso, a decomposição da função não simplificou muito a função dada. Entretanto, poderíamos ver $f(x)$ como sendo o produto de $g(x)=3x+1$ e $i(x)=\sin(x)$, essas sim são funções mais simples de derivar ou integrar.

\begin{questao}
Rescreva as funções abaixo como a composição ou a multiplicação de outras duas funções mais simples.
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x^2 \cdot 3^x$
\item $g(x)=\frac{x+3}{x+4}$
\item $p(x)=\cos(x^2-1)$
\item $m(x)=\frac{2^x}{1+2^x}$
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{Além de oferecer mais um pouco de prática com a decomposição de funções, essa questão oferece uma oportunidade para considerar as diferenças entre produto e composição de funções, o que é fundamental para decidir qual estratégia usar para derivar uma função.}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $f(x)=g(x).h(x)$, $g(x)=x^2$ e $h(x)=3^x$, b) $g(x)=n(x)/d(x)$, $n(x)=x+3$ e $d(x)=x+4$, c) $p(x)=q(r(x))$, $q(x)=\cos(x)$ e $r(x)=x^2-1$, d) $g(x)=h(x)/i(x)$, $h(x)=x+3$ e $i(x)=x+4$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

O último item pode ser visto como uma composição envolvendo $2^x$ ou como um quociente. Cada opção tem suas vantagens em desvantagens relacionadas à dificuldade de calcular as derivadas das novas funções e à dificuldade de usar regra da cadeia, do produto ou do quociente.}

\subsection*{Uma composição especial}

\notaTutor{
Introdução de funções inversas com um exemplo simples, mas abstrato. Aqui, uma função ser inversa da outra significa a composição resultar na identidade, o que não é tão óbvio na interpretação a seguir (contextualizada), em que funções inversas são vistas como funções que fazem a transformação contrária uma da outra.}

\begin{questao}
Considere as funções $m(x)=2x-6$ e $n(x)=\frac{x}{2}+3$
\begin{enumerate}[a)]
\item Obtenha a expressão algébrica de $m(n(x))$.
\item Obtenha a expressão algébrica de $n(m(x))$.
\end{enumerate}
\end{questao}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $m(n(x))=x$, b) $n(m(x))=x$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

Nos itens acima você deve ter obtido que $m(n(x))=x$ e $n(m(x))=x$. Toda função da forma $f(x)=x$ é chamada de identidade pois $f(1)=1$, $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(-17)=-17$ , $f(1000)=1000$... Quando a composição de duas funções é igual à identidade, dizemos que uma delas é a \textbf{função inversa} da outra. No caso da questão acima, dizemos que $m(x)$ é a função inversa de $n(x)$ e vice-versa. No caso geral, a inversa de uma função $f(x)$ é representada por $f^{-1}(x)$.

\subsection*{Funções inversas}

\notaTutor{Nesse caso, o uso de um contexto facilita o entendimento de porquê o procedimento de isolar a outra variável funciona. Além disso, reforça a ideia de transformação inversa (de Celsius para Fahrenheit ou de Fahrenheit para Celsius).

Não tenha pressa com essas duas últimas questões. Se julgar explore explicitamente a trnasformação ponto a ponto: se $f(x_0)=y_0$ então $f^{-1}(y_0)=x_0$. Isso pode ser feito facilmente convertendo e desconvertendo uma temperatura, mas o impacto deve ser maior com o exemplo abstrato: escolha um valor qualquer de $x$, aplique em $m(x)$, agora pegue esse resultado e aplique em $n(x)$ e você obterá $x$ novamente.}

\begin{questao}
Utilize a expressão $C=\frac{5(F-32)}{9}$, dada no começo deste capítulo para converter uma temperatura em celsius para fahrenheits, para responder as questões abaixo.
\begin{enumerate}[a)]
\item Rescreva a fórmula acima isolando $F$ ao invés de $C$.
\item Use a resposta do item anterior para obter o valor em fahrenheits para a temperatura de 35\degree Celsius.
\end{enumerate}
\end{questao}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $F=\frac{9C}{5}+32$, b) $95\degree$ fahrenheit.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

Agora pense nas fórmulas acima, a dada no enunciado e a obtida no item b, como funções. Podemos escrevê-las como $C(f)=\frac{5(f-32)}{9}$ e $F(c)=\frac{9c+160}{5}$. A primeira delas retorna uma temperatura em celsius a partir de um valor dado em fahrenheits. A segunda retorna um valor em fahrenheits a partir de um valor dado em celsius. Ou seja, elas fazem trabalhos inversos!

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./img/c5q9.png}
\end{figure}

Esse é justamente o significado de duas funções serem inversas. 

\begin{questao}
Verifique se a composição $C \circ F$ resulta na função identidade.
\end{questao}

\notaTutor{Insista para que os estudantes resolvam essa questão.}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		$C \circ F=C$
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

\subsection*{Obtendo funções inversas}

O exemplo acima nos oferece não apenas uma interpretação para funções compostas, mas também um método para obtê-las: se você quer obter a inversa de $f(x)$, isole a variável $x$ e obtenha uma expressão envolvendo $y$. Por exemplo, a inversa de $f(x)=2+\frac{1}{x}$ pode ser obtida da seguinte maneira:

\begin{align*}
 f(x) &=2+\frac{1}{x} && \text{por conveniência, vamos trocar } f(x) \text{ por } y \\
 y &= 2+\frac{1}{x} && \text{subtraindo 2 dos dois lados}\\ 
 y-2 &= \frac{1}{x}  && \text{invertendo os dois lados da igualdade}\\
 \frac{1}{y-2} &= x && \text{rescrevendo a igualdade}\\
 x &= \frac{1}{y-2}
\end{align*}

A expressão algébrica da função inversa foi obtida na última linha acima. Porém, escrevendo na forma convencional de funções, dizemos que a inversa de $f(x)$ é $f^{-1}(x)=\frac{1}{x-2}$. Usa-se $x$ como variável apenas por convenção, especialmente em casos em que as funções são dadas de forma não contextualizadas.

\begin{reflita}
Antes de resolver a questão abaixo, descreva com suas palavras como você deve proceder para resolvê-lo do início até a resposta final, dada no forma $f^{-1}$. 
\end{reflita}

\notaTutor{Essa questão é do tipo \textbf{Reflita}. Como antes, insista para que os estudantes a resolvam adequadamente, escrevendo o que fariam para resolver o item seguinte. Descrições completas são importantes para salientar aspectos que talvez eles mesmos não tenham notado. Note que a questão pede que a função inversa seja dada na forma $f^{-1}(x)$, portanto, após isolar a variável $x$ em termos de $y$, é necessário ajustar a nomenclatura.}

\begin{questao}
Use a técnica discutida anteriormente para obter a função inversa das seguintes funções.
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=4x-8$.
\item $g(x)=\frac{3}{x-1}+2$.
\item $h(x)=3+log(2x)$.
\item $p(x)=\sin(3x-10)$.
\item $c(x)=2^{x+5}$.
\end{enumerate}
\end{questao}

\notaTutor{Os itens dessa questão não exigem grandes manipulações algébricas, mas dependem de os estudantes lembrarem quais são as inversas de funções como as trigonométricas e exponenciais. Isso foi tratado em capítulos anteriores, mas do ponto de vista de operações, não funções. Isso pode gerar dúvidas. Não tenha pressa e, caso necessário, gere mais exercícios com estrututura semelhante aos dados (evite execesso de manipulações algébricas) para que os estudantes possam praticar esse novo uso dessas operações.}

\begin{gabarito}
	\begin{gabaritoQuestao}
		a) $f^{-1}(x)=\frac{x+8}{4}$, b) $g^{-1}(x)=\frac{3}{x-2}+1$, c) $h^{-1}(x)=\frac{10^{x-3}}{2}$, d) $p^{-1}(x)=\frac{\arcsin(y)+10}{3}$, e) $c^{-1}(x)=log_2 (y)-5$.
	\end{gabaritoQuestao}
\end{gabarito}

\section{Rumo ao livro-texto}

\notaTutor{A proposta desta questão é aplicar explicitamente o que foi visto neste capítulo em um tópico da disciplina de Cálculo. Ela é simples do ponto de vista algébrico, mas a resolução neste momento deve oferecer uma conexão bastante explícitda entre as atividades da tutoria e da disciplina MA111.}

Nessa altura do curso de Cálculo, você já viu como derivar algumas funções, como as polinomiais e exponenciais.  Entretanto, uma função como $f(x)=2^{x^3+1}$, apesar de envolver uma exponencial e um polinômio, não se encaixa exatamente em nenhuma dessas categorias. Para esse tipo de situação, você estudará técnicas como a regra do produto, do quociente e da cadeia. A regra do produto (e do quociente) é útil para casos em que a função dada pode ser vista como um produto (ou quociente) de duas funções mais fáceis de derivar. A regra da cadeia permite calcular a derivada de uma função que possa ser decomposta em funções mais simples, lidando apenas com estas.

Não se preocupe em decorar a regra da cadeia ou entender os seus porquês neste momento, pois você terá aulas sobre ela em breve. Mas vejamos o que ela diz para resolver uma questão de um dos livros-texto.

\begin{shaded*}
Seja $f(x)$ uma função que pode ser decomposta em $g(h(x))$. Então, a sua derivada pode ser dada por:

$$f'(x) = h'(x) \cdot g'(h(x)) $$
\end{shaded*}

A questão abaixo foi retirada da seção 3.5 do livro \sugestao{Calculus}, de James Stewart.

\begin{resolvida}
Encontre a derivada de $y=10^{1-x^2}$.
\end{resolvida}

Note que a função dada não se enquadra em nenhum dos tipos de função básicos que você sabe como derivar. Porém, ela pode ser decomposta em uma exponencial simples ($f(x)=10^x$)e um polinômio ($g(x)=1-x^2$) e essas duas funções você já deve saber como derivar.

$$f'(x)=log(10) . 10^x $$
$$g'(x)=-2x $$

Agora, vamos checar a regra da cadeia tendo em mente que $y=f(g(x))$.

$$y' = g'(x) \cdot f'(g(x))$$

A primeira parte é simples, basta substituir $g'(x)=-2x$, resultando em $y' = -2x \cdot f'(g(x))$.

A segunda parte é a composição de $f'(x)$ com $g(x)$. Como $f'(x)=log(10) . 10^x$, temos que:

\begin{align*}
 f'(\mathbf{x}) &= log(10) . 10^\mathbf{x} \\
 f'(\mathbf{g(x)}) &= log(10) . 10^\mathbf{g(x)} \\
 f'(\mathbf{g(x)}) &= log(10) . 10^\mathbf{1-x^2} \\
\end{align*}

Portanto:

\begin{align*}
y' &= -2x \cdot log(10) . 10^\mathbf{1-x^2} && \text{rescrevendo o lado direito da igualdade} \\
y' &= -2log(10) \cdot x \cdot 10^\mathbf{1-x^2} \\
\end{align*}

Agora, tente aplicar a regra da cadeia para resolver a questão abaixo, também retirada do livro \sugestao{Calculus}, de James Stewart.

\begin{resolva}
Encontre a derivada de $y=e^{\sqrt{x}}$.
\end{resolva}

\section{Gabarito}

\imprimeGabarito

%\end{comment}
\paraTutores

\section{Questões adicionais}

\begin{adicional}
Obtenha a derivada das funções $f(x)=\sin(x^2)$ e $g(x)=\sin^2(x)$.
\end{adicional}

Antes de sugerir essa questão, certifique-se que derivadas de funções trigonométricas já foram abordadas em Cálculo. Se desejar propor mais questões desse tipo, foque em exemplos que não resultem em muitas manipulações algébricas, assim os estudantes poderão focar atenção nas funções e nas interações entre elas.

\begin{adicional}
A forma algébrica explícita de algumas funções inversas são difíceis de obter. Esse é o caso, por exemplo, de algumas funções quadráticas como $i(x)=x^2-4x+3$ mas não é o caso de outras como $e(x)=2x^2-3$. Obtenha a função inversa das funções quadrática abaixo.
\begin{enumerate}[a)]
\item $e(x)=2x^2-3$
\item $f(x)=(x-5)^2$
\item $h(x)=x^2-4x+4$. Sugestão: tente transformá-la no formato do item anterior.
\item $i(x)=x^2-4x+1$. Sugestão: tente transformá-la no formato do item anterior.
\end{enumerate}
\end{adicional}

Essa questão deve ser vista como um desafio e dada apenas a estudantes que tiverem dominado os tópicos principais do capítulo. Ela não promove maior entendimento destes tópicos, apenas extende, em termos de dificuldade, as estratégias para obter a função inversa de uma função quadrática.

%\end{comment}
\paraAlunos

\section{Auto-avaliação final}
Avalie o quanto você acha que sabe sobre os seguintes itens após ter resolvido as questões deste capítulo.

\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{25mm}||p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|} 
 \hline
   & Nada & Muito pouco & Noções gerais & Muito\\
 \hline
 Usar troca de variáveis para resolver uma equação &  &  &  &  \\ 
 \hline
 Obter a composta de duas funções dadas &  &  &  &  \\
 \hline
 Obter a função inversa de uma função dada &  &  &  &  \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

Cheque como foi o seu progresso comparando essas respostas com as que você deu antes de estudar este capítulo. Caso você não tenha atingido o nível ``Bastante''  em algum dos tópicos acima, liste abaixo qual ação concreta você fará nos próximos dias para atingi-lo:

%\end{comment}
\paraAmbos

\end{document}