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Algorithme différentiable pour calculer les cinq premiers valeurs propres.

Ce stage porte sur la lutherie numérique.  L'objectif est d'apprendre à tailler
un morceau de bois de façon que l'on entend un timbre pre-défini lorsqu'il est
percuté.  Ceci est le problème inverse de la simulation des vibrations, qui est
plus facile à décrire : étant donné un object d'une certaine forme M, quel est
son spectre de vibrations ?  Si on modèle M comme une sous-variété compacte, la
réponse à la question est alors déterminée par le spectre de l'opérateur
Delta^2_M, le carré de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec conditions de
Neumann sur le domaine M.  Le problème inverse donc consiste à trouver un
domaine M avec un spectre (disons les cinq premiers vecteurs propres) donné.

La solution dévelopée par le travail stage commence avec une discrétisation du
domaine M, de façon que l'opérateur Delta^2_M devient une matrice symétrique
définie positive.  Ensuite, ce qui sera la partie cruciale du travail, on
écrira l'algorithme classique pour calculer la SVD incomplète comme composition
de fonctions dérivables par morceaux, ce que l'on appelle un "algorithme
différentiable".  Cette construction réduit ainsi le problème inverse à un
problème d'optimistaion qui vise à faire correspondre le spectre avec le timbre
souhaité.  Grâce aux techniques modèrnes d'optimisation (descente stochastique
de gradient), on arrivera à trouver la forme optimale.