fmt4.tex

% arara: xelatex
\documentclass[11pt]{article} % размер шрифта

\usepackage{tikz} % картинки в tikz
\usepackage{microtype} % свешивание пунктуации

\usepackage{array} % для столбцов фиксированной ширины

\usepackage{indentfirst} % отступ в первом параграфе

\usepackage{multicol} % текст в несколько колонок
\usepackage{verbatim}

\graphicspath{{images/}} % путь к картинкам

\usepackage{sectsty} % для центрирования названий частей
\allsectionsfont{\centering} % приказываем центрировать все sections

\usepackage{amsmath, amssymb} % куча стандартных математических плюшек

\usepackage[top=2cm, left=1cm, right=1cm, bottom=1cm]{geometry} % размер текста на странице

\usepackage{lastpage} % чтобы узнать номер последней страницы

\usepackage{enumitem} % дополнительные плюшки для списков
%  например \begin{enumerate}[resume] позволяет продолжить нумерацию в новом списке
\usepackage{caption} % подписи к картинкам без плавающего окружения figure

\usepackage{circuitikz} % для рисовки электрических цепей

\usepackage{physics} 

\usepackage{fancyhdr} % весёлые колонтитулы
\pagestyle{empty}
%\lhead{ФМТ}
%\chead{}
%\rhead{КЛШ-2019}
%\lfoot{}
%\cfoot{}
%\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}



\usepackage{todonotes} % для вставки в документ заметок о том, что осталось сделать
% \todo{Здесь надо коэффициенты исправить}
% \missingfigure{Здесь будет картина Последний день Помпеи}
% команда \listoftodos — печатает все поставленные \todo'шки

\usepackage{booktabs} % красивые таблицы
% заповеди из документации:
% 1. Не используйте вертикальные линии
% 2. Не используйте двойные линии
% 3. Единицы измерения помещайте в шапку таблицы
% 4. Не сокращайте .1 вместо 0.1
% 5. Повторяющееся значение повторяйте, а не говорите "то же"

\usepackage{fontspec} % поддержка разных шрифтов
\usepackage{polyglossia} % поддержка разных языков

\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}

\setmainfont{Linux Libertine O} % выбираем шрифт
% можно также попробовать Helvetica, Arial, Cambria и т.Д.

% чтобы использовать шрифт Linux Libertine на личном компе,
% его надо предварительно скачать по ссылке
% http://www.linuxlibertine.org/

\newfontfamily{\cyrillicfonttt}{Linux Libertine O}
% пояснение зачем нужно шаманство с \newfontfamily
% http://tex.stackexchange.com/questions/91507/

\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}{щ} % для списков с русскими буквами
\setlist[enumerate, 2]{label=\asbuk*),ref=\asbuk*} % списки уровня 2 будут буквами а) б) ...

%% эконометрические и вероятностные сокращения
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand \hVar{\widehat{\Var}}
\let\P\relax
\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}
\let\Re\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}


% делаем короче интервал в списках
\setlength{\itemsep}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\parsep}{0pt}




\newcommand{\putlogo}{
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.25]{klshlogo.pdf} &
\raisebox{1cm}{
    {\Large\bf ФМТ тур-4}
}
\end{tabular}
\end{center}
}


\newcommand{\easymath}{
Сначала зондер написал на доске число 3. 
Затем зондер в уме прибавил к числу 2, поделил сумму на 2 и выписал полученное число на доску. 
Затем зондер взял последнее выписанное число и повторил итерацию с ним. И так далее, снова и снова.

Какое число зондер напишет на доске 11-м по счёту?
}
\newcommand{\soleasymath}{
Замечаем, что $a_0=3$ и $a_{n+1} = 1 + a_n/2$, отсюда $\Delta_{n+1} = \Delta_n/2$.
Находим $a_1 = 2.5$, $\Delta_1 = -0.5$. 

Итого 
\[
a_{10} = a_0 + \Delta_1 + \ldots + \Delta_{10} = 3 - \frac{1}{2} - \ldots - \frac{1}{2^{10}} = 2 + \frac{1}{2^10}
\]
Один балл за понимание, что $\Delta_n$ падает в два раза. Также один балл за альтернативное решение, 
где игрок экспериментально обнаруживает, что $a_n = 2 + 1/2^n$. 
}



\newcommand{\hardmath}{
В трапеции $ABCD$ известны основания $BC=a$ и $AD=b$, причем $a < b$. 
На стороне $AB$ отмечена точка $E$, на стороне $CD$ — точка $F$.
Отрезок $EF$ параллелен основаниям. Площадь трапеции $EBCF$ равны $S_a$, а трапеции $AEFD$ равна $S_b$.
    
Чему равна длина $EF$?
}
\newcommand{\solhardmath}{
Достроим трапецию до треугольника. Обозначим площадь верхнего треугольника как $S_t$.
Находим квадрат коэффициента подобия $(S_t + S_a + S_b) / S_t = b^2/a^2$.

Нужная нам сторона равна $ET = a \cdot \sqrt{(S_a + S_t)/ S_t} = \sqrt{a^2(1 + S_a/S_t)}$.
Из первого уравнения $a^2 (S_a + S_b)/S_t = b^2 - a^2$.
Ответ: $ET = \sqrt{a^2 + (b^2 - a^2) S_a/(S_a + S_b)} = \sqrt{(b^2 S_a + a^2 S_b)/(S_a + S_b)}$.

За верное уравнение с отношением площадей равным квадрату коэффициента подобия — один балл.
}


\newcommand{\veryhardmath}{
Внутри параболы друг на друге лежат три квадрата: маленький, средний и большой. 
Центры квадратов лежат на оси симметрии параболы. 
У каждого квадрата ровно две вершины лежат на параболе, 
и ровно две стороны параллельны оси симметрии. 

Площадь маленького квадрата равна 16, среднего — 36. 
    
Чему равна площадь большего квадрата? 
}
\newcommand{\solveryhardmath}{
Параметризуем параболу $y=kx^2$. Координаты вершины малого квадрата на параболе $(2, 4k)$.
Координаты вершины среднего квадрата на параболе $(3, 9k)$. 
Из рисунка получаем уравнение $9k = 4k + 4$. Отсюда $k=0.8$.
Координата вершины крупного квадрата $(a, 0.8a^2)$ при этом $0.8a^2 = 9\cdot 0.8 + 6 = 13.2$.
Искомая площадь равна $4a^2 = 4\cdot 13.2/0.8 = 66$.

За нахождение формулы параболы $y=0.8x^2$ — один балл. 
}

\newcommand{\easyphys}{
На расстоянии $L = 10$ м от стены лежит футбольный мяч. 
Юнит Адо-Решетнёв под «раз-два» бежит к мячу с постоянной скоростью $u = 10$ м/с в направлении перендикулярном плоскости стены. 
Добегая до мяча, юнит наносит удар и придаёт мячу горизонтальную скорость $v = 30$ м/c относительно пола. 
После удара юнит продолжает движение с прежней скоростью. Столкновение мяча со стеной абсолютно упругое.
    
Через сколько секунд после удара юнит снова встретится с мячом?
}

\newcommand{\soleasyphys}{
Общее расстояние пройденное мячом и юнитом равно $2L$, а суммарная скорость $u+v$, отсюда $t = 2L/(u+v) = 20/40 = 0.5$.

Снимаем один балл при арифметической ошибке.
}

\newcommand{\hardphys}{
Из однородной проволки сопротивлением $5$ Ом сделано кольцо. 
К проволоке присоединены две клеммы так, что сопротивление полученной цепи равняется $0.8$ Ом.
    
В каком соотношения точки присоединения клемм делят кольцо?
}
\newcommand{\solhardphys}{
Поделим кольцо на участки сопротивлением $x$ и $R - x$. Решаем уравнение $1/r = 1/x + 1/(R - x)$.
Получаем квадратное уравнение $x^2 - Rx + Rr = 0$ и решение $x = \frac{1}{2} \left( R \pm \sqrt{R^2 - 4rR}  \right)$.
Отношение равно $\frac{R + \sqrt{R^2 - 4rR}}{R - \sqrt{R^2 - 4rR}}$. В числах $8:2=4:1$.
    
За выписанное уравнение $1/r = 1/x + 1/(R - x)$ ставим один балл.
}


\newcommand{\veryhardphys}{
Два арбуза одинаковой массы $m$ связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок. 
Школьница команды $\lambda$ массы $M$, подпрыгнув,
хватается за один из арбузов. 
    
Какой будет сила давления нити на блок?}

\newcommand{\solveryhardphys}{
Ускорение обозначим школьницы с арбузом $a$, получаем систему:
\[
    \begin{cases}
    (M + m) a = (M + m)g - T \\
    ma = T - mg \\
    \end{cases}
\]
Находим $a = Mg/(2m + M)$ и $T = 2mg(M + m)/(2m + M)$.
Отсюда $N = 2T = 4gm(M + m)/(2m + M)$.

За выписанную систему ставим один балл. 
}


\begin{document}

\textbf{TOP SECRET! Сдать задачи после разбора!}

\begin{enumerate}
\item \easymath

\soleasymath
\item \hardmath

\solhardmath
\item \easyphys

\soleasyphys
\item \hardphys

\solhardphys
\end{enumerate}

Задачи для топ-3 столов:
\begin{enumerate}[resume]
\item \veryhardmath
\solveryhardmath
\item \veryhardphys
\solveryhardphys
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{TOP SECRET! Судейский экземпляр обычных столов!}

\begin{enumerate}
    \item \easymath 
    
    \soleasymath
    \item \hardmath 
    
    \solhardmath
    \item \easyphys 
    
    \soleasyphys
    \item \hardphys 
    
    \solhardphys
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{TOP SECRET! Судейский экземпляр top-3 столов!}

\begin{enumerate}
    \item \easymath 
    
    \soleasymath
    \item \veryhardmath 
    
    \solveryhardmath
    \item \hardphys 
    
    \solhardphys
    \item \veryhardphys 
    
    \solveryhardphys
\end{enumerate}


\newpage
\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

% \end{document} % если деления задач по столам нет

\newpage

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \veryhardmath
    \item \hardphys
    \item \veryhardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \veryhardmath
    \item \hardphys
    \item \veryhardphys
\end{enumerate}


\end{document}



% ФМТ-финал

% задача про кузнечника и соломинку, 615 задачник степановой