-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 5
/
luku10.tex
562 lines (476 loc) · 15.2 KB
/
luku10.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
\chapter{Bittien käsittely}
Tietokone käsittelee tietoa sisäisesti bitteinä
eli numeroina 0 ja 1.
Tässä luvussa tutustumme tarkemmin kokonaisluvun
bittiesitykseen sekä bittioperaatioihin,
jotka muokkaavat luvun bittejä.
Osoittautuu, että näistä operaatioista on
monenlaista hyötyä algoritmien ohjelmoinnissa.
\section{Luvun bittiesitys}
\index{bittiesitys@bittiesitys}
Luvun \key{bittiesitys} ilmaisee, mistä 2:n potensseista
luku muodostuu. Esimerkiksi luvun 43 bittiesitys on 101011, koska
$43 = 2^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0$
eli oikealta lukien bitit 0, 1, 3 ja 5 ovat ykkösiä
ja kaikki muut bitit ovat nollia.
Tietokoneessa luvun bittiesityksen
bittien määrä on kiinteä ja riippuu käytetystä tietotyypistä.
Esimerkiksi C++:n \texttt{int}-tyyppi on tavallisesti 32-bittinen,
jolloin \texttt{int}-luku tallennetaan 32 bittinä.
Tällöin esimerkiksi luvun 43 bittiesitys \texttt{int}-lukuna on seuraava:
\[00000000000000000000000000101011\]
Luvun bittiesitys on joko \key{etumerkillinen}
tai \key{etumerkitön}.
Etumerkillisen bittiesityksen ensimmäinen bitti on etumerkki
($+$ tai $-$) ja $n$ bitillä voi esittää luvut $-2^{n-1} \ldots 2^{n-1}-1$.
Jos taas bittiesitys on etumerkitön,
kaikki bitit kuuluvat lukuun ja $n$ bitillä voi esittää luvut $0 \ldots 2^n-1$.
Etumerkillisessä bittiesityksessä ei-negatiivisen luvun
ensimmäinen bitti on 0 ja negatiivisen luvun
ensimmäinen bitti on 1.
Bittiesityksenä on \key{kahden komplementti},
jossa luvun luvun vastaluvun saa laskettua
muuttamalla
kaikki bitit käänteiseksi ja lisäämällä
tulokseen yksi.
Esimerkiksi luvun $-43$ esitys \texttt{int}-lukuna on seuraava:
\[11111111111111111111111111010101\]
Etumerkillisen ja etumerkittömän bittiesityksen
yhteys on, että etumerkillisen luvun $-x$
ja etumerkittömän luvun $2^n-x$ bittiesitykset ovat samat.
Niinpä yllä oleva bittiesitys tarkoittaa
etumerkittömänä lukua $2^{32}-43$.
C++:ssa luvut ovat oletuksena etumerkillisiä,
mutta avainsanan \texttt{unsigned} avulla
luvusta saa etumerkittömän.
Esimerkiksi koodissa
\begin{lstlisting}
int x = -43;
unsigned int y = x;
cout << x << "\n"; // -43
cout << y << "\n"; // 4294967253
\end{lstlisting}
etumerkillistä lukua $x=-43$ vastaa etumerkitön luku $y=2^{32}-43$.
Jos luvun suuruus menee käytössä
olevan bittiesityksen ulkopuolelle,
niin luku pyörähtää ympäri.
Etumerkillisessä bittiesityksessä
luvusta $2^{n-1}-1$ seuraava luku on $-2^{n-1}$
ja vastaavasti etumerkittömässä bittiesityksessä
luvusta $2^n-1$ seuraava luku on $0$.
Esimerkiksi koodissa
\begin{lstlisting}
int x = 2147483647
cout << x << "\n"; // 2147483647
x++;
cout << x << "\n"; // -2147483648
\end{lstlisting}
muuttuja $x$ pyörähtää ympäri luvusta $2^{31}-1$ lukuun $-2^{31}$.
\section{Bittioperaatiot}
\newcommand\XOR{\mathbin{\char`\^}}
\subsubsection{And-operaatio}
\index{and-operaatio}
And-operaatio $x$ \& $y$ tuottaa luvun,
jossa on ykkösbitti niissä kohdissa,
joissa molemmissa luvuissa $x$ ja $y$ on ykkösbitti.
Esimerkiksi $22$ \& $26$ = 18, koska
\begin{center}
\begin{tabular}{rrr}
& 10110 & (22)\\
\& & 11010 & (26) \\
\hline
= & 10010 & (18) \\
\end{tabular}
\end{center}
And-operaation avulla voi tarkastaa luvun parillisuuden,
koska $x$ \& $1$ = 0, jos luku on parillinen,
ja $x$ \& $1$ = 1, jos luku on pariton.
\subsubsection{Or-operaatio}
\index{or-operaatio}
Or-operaatio $x$ | $y$ tuottaa luvun,
jossa on ykkösbitti niissä kohdissa,
joissa ainakin toisessa luvuista $x$ ja $y$ on ykkösbitti.
Esimerkiksi $22$ | $26$ = 30, koska
\begin{center}
\begin{tabular}{rrr}
& 10110 & (22)\\
| & 11010 & (26) \\
\hline
= & 11110 & (30) \\
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{Xor-operaatio}
\index{xor-operaatio}
Xor-operaatio $x$ $\XOR$ $y$ tuottaa luvun,
jossa on ykkösbitti niissä kohdissa,
joissa tarkalleen toisessa luvuista $x$ ja $y$ on ykkösbitti.
Esimerkiksi $22$ $\XOR$ $26$ = 12, koska
\begin{center}
\begin{tabular}{rrr}
& 10110 & (22)\\
$\XOR$ & 11010 & (26) \\
\hline
= & 01100 & (12) \\
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{Not-operaatio}
\index{not-operaatio}
Not-operaatio \textasciitilde$x$ tuottaa luvun,
jossa kaikki $x$:n bitit on muutettu käänteisiksi.
Operaatiolle pätee kaava \textasciitilde$x = -x-1$,
esimerkiksi \textasciitilde$29 = -30$.
Not-operaation toiminta bittitasolla riippuu siitä,
montako bittiä luvun bittiesityksessä on,
koska operaatio vaikuttaa kaikkiin luvun bitteihin.
Esimerkiksi 32-bittisenä \texttt{int}-lukuna
tilanne on seuraava:
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
$x$ & = & 29 & 00000000000000000000000000011101 \\
\textasciitilde$x$ & = & $-30$ & 11111111111111111111111111100010 \\
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{Bittisiirrot}
\index{bittisiirto@bittisiirto}
Vasen bittisiirto $x < < k$ tuottaa luvun, jossa luvun $x$ bittejä
on siirretty $k$ askelta vasemmalle eli
luvun loppuun tulee $k$ nollabittiä.
Oikea bittisiirto $x > > k$ tuottaa puolestaan
luvun, jossa luvun $x$ bittejä
on siirretty $k$ askelta oikealle eli
luvun lopusta lähtee pois $k$ viimeistä bittiä.
Esimerkiksi $14 < < 2 = 56$,
koska $14$ on bitteinä 1110,
josta tulee bittisiirron jälkeen 111000 eli $56$.
Vastaavasti $49 > > 3 = 6$,
koska $49$ on bitteinä 110001,
josta tulee bittisiirron jälkeen 110 eli $6$.
Huomaa, että vasen bittisiirto $x < < k$
vastaa luvun $x$ kertomista $2^k$:lla
ja oikea bittisiirto $x > > k$
vastaa luvun $x$ jakamista $2^k$:lla
alaspäin pyöristäen.
\subsubsection{Bittien käsittely}
Luvun bitit indeksoidaan oikealta vasemmalle
nollasta alkaen.
Luvussa $1 < < k$ on yksi ykkösbitti
kohdassa $k$ ja kaikki muut bitit ovat nollia, joten sen avulla voi käsitellä
muiden lukujen yksittäisiä bittejä.
Luvun $x$ bitti $k$ on ykkösbitti, jos
$x$ \& $(1 < < k) = (1 < < k)$.
Lauseke $x$ | $(1 < < k)$ asettaa luvun $x$ bitin $k$
ykköseksi, lauseke
$x$ \& \textasciitilde $(1 < < k)$
asettaa luvun $x$ bitin $k$ nollaksi ja
lauseke $x$ $\XOR$ $(1 < < k)$
muuttaa luvun $x$ bitin $k$ käänteiseksi.
%
% Seuraava koodi muuttaa luvun bittejä:
%
% \begin{lstlisting}
% int x = 181; // 10110101
% cout << (x|(1<<2)) << "\n"; // 181 = 10110101
% cout << (x|(1<<3)) << "\n"; // 189 = 10111101
% cout << (x&~(1<<2)) << "\n"; // 177 = 10110001
% cout << (x&~(1<<3)) << "\n"; // 181 = 10110101
% cout << (x^(1<<2)) << "\n"; // 177 = 10110001
% cout << (x^(1<<3)) << "\n"; // 189 = 10111101
% \end{lstlisting}
%
% % Bittiesityksen vasemmanpuoleisin bitti on eniten merkitsevä
% % (\textit{most significant}) ja
% % oikeanpuoleisin bitti on vähiten merkitsevä (\textit{least significant}).
Lauseke $x$ \& $(x-1)$ muuttaa luvun $x$ viimeisen
ykkösbitin nollaksi, ja lauseke $x$ \& $-x$ nollaa
luvun $x$ kaikki bitit paitsi viimeisen ykkösbitin.
Lauseke $x$ | $(x-1)$ vuorostaan muuttaa kaikki
viimeisen ykkösbitin jälkeiset bitit ykkösiksi.
Huomaa myös, että positiivinen luku $x$ on muotoa $2^k$,
jos $x$ \& $(x-1) = 0$.
%
% Seuraava koodi esittelee operaatioita:
%
% \begin{lstlisting}
% int x = 168; // 10101000
% cout << (x&(x-1)) << "\n"; // 160 = 10100000
% cout << (x&-x) << "\n"; // 8 = 00001000
% cout << (x|(x-1)) << "\n"; // 175 = 10101111
% \end{lstlisting}
\subsubsection*{Lisäfunktiot}
Kääntäjä g++ sisältää mm. seuraavat funktiot
bittien käsittelyyn:
\begin{itemize}
\item
$\texttt{\_\_builtin\_clz}(x)$:
nollien määrä bittiesityksen alussa
\item
$\texttt{\_\_builtin\_ctz}(x)$:
nollien määrä bittiesityksen lopussa
\item
$\texttt{\_\_builtin\_popcount}(x)$:
ykkösten määrä bittiesityksessä
\item
$\texttt{\_\_builtin\_parity}(x)$:
ykkösten määrän parillisuus
\end{itemize}
\begin{samepage}
Nämä funktiot käsittelevät \texttt{int}-lukuja,
mutta funktioista on myös \texttt{long long} -versiot,
joiden lopussa on pääte \texttt{ll}.
Seuraava koodi esittelee funktioiden käyttöä:
\begin{lstlisting}
int x = 5328; // 00000000000000000001010011010000
cout << __builtin_clz(x) << "\n"; // 19
cout << __builtin_ctz(x) << "\n"; // 4
cout << __builtin_popcount(x) << "\n"; // 5
cout << __builtin_parity(x) << "\n"; // 1
\end{lstlisting}
\end{samepage}
\section{Joukon bittiesitys}
Joukon $\{0,1,2,\ldots,n-1\}$
jokaista osajoukkoa
vastaa $n$-bittinen luku,
jossa ykkösbitit ilmaisevat,
mitkä alkiot ovat mukana osajoukossa.
Esimerkiksi joukkoa $\{1,3,4,8\}$
vastaa bittiesitys 100011010 eli luku
$2^8+2^4+2^3+2^1=282$.
Joukon bittiesitys vie vähän muistia,
koska tieto kunkin alkion kuulumisesta
osajoukkoon vie vain yhden bitin tilaa.
Lisäksi bittimuodossa tallennettua joukkoa
on tehokasta käsitellä bittioperaatioilla.
\subsubsection{Joukon käsittely}
Seuraavan koodin muuttuja $x$
sisältää joukon $\{0,1,2,\ldots,31\}$
osajoukon.
Koodi lisää luvut 1, 3, 4 ja 8
joukkoon ja tulostaa
joukon sisällön.
\begin{lstlisting}
// x on tyhjä joukko
int x = 0;
// lisätään luvut 1, 3, 4 ja 8 joukkoon
x |= (1<<1);
x |= (1<<3);
x |= (1<<4);
x |= (1<<8);
// tulostetaan joukon sisältö
for (int i = 0; i < 32; i++) {
if (x&(1<<i)) cout << i << " ";
}
cout << "\n";
\end{lstlisting}
Koodin tulostus on seuraava:
\begin{lstlisting}
1 3 4 8
\end{lstlisting}
Kun joukko on tallennettu bittiesityksenä,
niin joukko-operaatiot voi toteuttaa
tehokkaasti bittioperaatioiden avulla:
\begin{itemize}
\item $a$ \& $b$ on joukkojen $a$ ja $b$ leikkaus $a \cap b$
(tämä sisältää alkiot,
jotka ovat kummassakin joukossa)
\item $a$ | $b$ on joukkojen $a$ ja $b$ yhdiste $a \cup b$
(tämä sisältää alkiot,
jotka ovat ainakin toisessa joukossa)
\item $a$ \& (\textasciitilde$b$) on joukkojen $a$ ja $b$ erotus
$a \setminus b$ (tämä sisältää alkiot,
jotka ovat joukossa $a$ mutta eivät joukossa $b$)
\end{itemize}
Seuraava koodi muodostaa
joukkojen $\{1,3,4,8\}$ ja $\{3,6,8,9\}$ yhdisteen:
\begin{lstlisting}
// joukko {1,3,4,8}
int x = (1<<1)+(1<<3)+(1<<4)+(1<<8);
// joukko {3,6,8,9}
int y = (1<<3)+(1<<6)+(1<<8)+(1<<9);
// joukkojen yhdiste
int z = x|y;
// tulostetaan yhdisteen sisältö
for (int i = 0; i < 32; i++) {
if (z&(1<<i)) cout << i << " ";
}
cout << "\n";
\end{lstlisting}
Koodin tulostus on seuraava:
\begin{lstlisting}
1 3 4 6 8 9
\end{lstlisting}
\subsubsection{Osajoukkojen läpikäynti}
Seuraava koodi käy läpi joukon $\{0,1,\ldots,n-1\}$ osajoukot:
\begin{lstlisting}
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
// osajoukon b käsittely
}
\end{lstlisting}
Seuraava koodi käy läpi
osajoukot, joissa on $k$ alkiota:
\begin{lstlisting}
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
if (__builtin_popcount(b) == k) {
// osajoukon b käsittely
}
}
\end{lstlisting}
Seuraava koodi käy läpi joukon $x$ osajoukot:
\begin{lstlisting}
int b = 0;
do {
// osajoukon b käsittely
} while (b=(b-x)&x);
\end{lstlisting}
Esimerkiksi jos $x$ esittää joukkoa $\{2,5,7\}$,
niin koodi käy läpi osajoukot
$\emptyset$, $\{2\}$, $\{5\}$, $\{7\}$,
$\{2,5\}$, $\{2,7\}$, $\{5,7\}$ ja $\{2,5,7\}$.
\section{Dynaaminen ohjelmointi}
\subsubsection{Permutaatioista osajoukoiksi}
Dynaamisen ohjelmoinnin avulla on usein mahdollista
muuttaa permutaatioiden läpikäynti osajoukkojen läpikäynniksi.
Tällöin dynaamisen ohjelmoinnin tilana on
joukon osajoukko sekä mahdollisesti muuta tietoa.
Tekniikan hyötynä on,
että $n$-alkioisen joukon permutaatioiden määrä $n!$
on selvästi suurempi kuin osajoukkojen määrä $2^n$.
Esimerkiksi jos $n=20$, niin $n!=2432902008176640000$,
kun taas $2^n=1048576$.
Niinpä tietyillä $n$:n arvoilla permutaatioita ei ehdi
käydä läpi mutta osajoukot ehtii käydä läpi.
Lasketaan esimerkkinä, monessako
joukon $\{0,1,\ldots,n-1\}$
permutaatiossa ei ole
missään kohdassa kahta peräkkäistä lukua.
Esimerkiksi tapauksessa $n=4$ ratkaisuja on kaksi:
\begin{itemize}
\item $(1,3,0,2)$
\item $(2,0,3,1)$
\end{itemize}
Merkitään $f(x,k)$:llä,
monellako tavalla osajoukon
$x$ luvut voi järjestää niin,
että viimeinen luku on $k$ ja missään kohdassa
ei ole kahta peräkkäistä lukua.
Esimerkiksi $f(\{0,1,3\},1)=1$,
koska voidaan muodostaa permutaatio $(0,3,1)$,
ja $f(\{0,1,3\},3)=0$, koska 0 ja 1 eivät
voi olla peräkkäin alussa.
Funktion $f$ avulla ratkaisu tehtävään
on summa
\[ \sum_{i=0}^{n-1} f(\{0,1,\ldots,n-1\},i). \]
\noindent
Dynaamisen ohjelmoinnin tilat voi
tallentaa seuraavasti:
\begin{lstlisting}
long long d[1<<n][n];
\end{lstlisting}
\noindent
Perustapauksena $f(\{k\},k)=1$ kaikilla $k$:n arvoilla:
\begin{lstlisting}
for (int i = 0; i < n; i++) d[1<<i][i] = 1;
\end{lstlisting}
\noindent
Tämän jälkeen muut funktion arvot
saa laskettua seuraavasti:
\begin{lstlisting}
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (abs(i-j) > 1 && (b&(1<<i)) && (b&(1<<j))) {
d[b][i] += d[b^(1<<i)][j];
}
}
}
}
\end{lstlisting}
\noindent
Muuttujassa $b$ on osajoukon bittiesitys,
ja osajoukon luvuista muodostettu
permutaatio on muotoa $(\ldots,j,i)$.
Vaatimukset ovat, että lukujen $i$ ja $j$
etäisyyden tulee olla yli 1
ja lukujen tulee olla osajoukossa $b$.
Lopuksi ratkaisujen määrän saa laskettua näin
muuttujaan $s$:
\begin{lstlisting}
long long s = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
s += d[(1<<n)-1][i];
}
\end{lstlisting}
\subsubsection{Osajoukkojen summat}
Oletetaan sitten, että jokaista
joukon $\{0,1,\ldots,n-1\}$
osajoukkoa $x$ vastaa arvo $c(x)$ ja
tehtävänä on laskea kullekin
osajoukolle $x$ summa
\[s(x)=\sum_{y \subset x} c(y) \]
eli bittimuodossa ilmaistuna
\[s(x)=\sum_{y \& x = y} c(y). \]
Seuraavassa on esimerkki funktioiden arvoista,
kun $n=3$:
\begin{center}
\begin{tabular}{rrr}
$x$ & $c(x)$ & $s(x)$ \\
\hline
000 & 2 & 2 \\
001 & 0 & 2 \\
010 & 1 & 3 \\
011 & 3 & 6 \\
100 & 0 & 2 \\
101 & 4 & 6 \\
110 & 2 & 5 \\
111 & 0 & 12 \\
\end{tabular}
\end{center}
Esimerkiksi $s(110)=c(000)+c(010)+c(100)+c(110)=5$.
Tehtävä on mahdollista ratkaista ajassa $O(2^n n)$
laskemalla arvoja funktiolle $f(x,k)$:
mikä on lukujen $c(y)$ summa, missä $x$:stä saa $y$:n
muuttamalla millä tahansa tavalla bittien $0,1,\ldots,k$
joukossa ykkösbittejä nollabiteiksi.
Tämän funktion avulla ilmaistuna $s(x)=f(x,n-1)$.
Funktion pohjatapaukset ovat:
\begin{equation*}
f(x,0) = \begin{cases}
c(x) & \textrm{jos $x$:n bitti 0 on 0}\\
c(x)+c(x \XOR 1) & \textrm{jos $x$:n bitti 0 on 1}\\
\end{cases}
\end{equation*}
Suuremmille $k$:n arvoille pätee seuraava rekursio:
\begin{equation*}
f(x,k) = \begin{cases}
f(x,k-1) & \textrm{jos $x$:n bitti $k$ on 0}\\
f(x,k-1)+f(x \XOR (1 < < k),k-1) & \textrm{jos $x$:n bitti $k$ on 1}\\
\end{cases}
\end{equation*}
Niinpä funktion arvot voi laskea seuraavasti
dynaamisella ohjelmoinnilla.
Koodi olettaa, että taulukko \texttt{c} sisältää
funktion $c$ arvot ja muodostaa taulukon \texttt{s},
jossa on funktion $s$ arvot.
\begin{lstlisting}
for (int x = 0; x < (1<<n); x++) {
f[x][0] = c[x];
if (x&1) f[x][0] += c[x^1];
}
for (int k = 1; k < n; k++) {
for (int x = 0; x < (1<<n); x++) {
f[x][k] = f[x][k-1];
if (b&(1<<k)) f[x][k] += f[x^(1<<k)][k-1];
}
if (k == n-1) s[x] = f[x][k];
}
\end{lstlisting}
Itse asiassa saman laskennan voi toteuttaa lyhyemmin
seuraavasti niin, että tulokset lasketaan
suoraan taulukkoon \texttt{s}:
\begin{lstlisting}
for (int x = 0; x < (1<<n); x++) s[x] = c[x];
for (int k = 0; k < n; k++) {
for (int x = 0; x < (1<<n); x++) {
if (x&(1<<k)) s[x] += s[x^(1<<k)];
}
}
\end{lstlisting}