-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 5
/
luku21.tex
718 lines (605 loc) · 21.1 KB
/
luku21.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
\chapter{Lukuteoria}
\index{lukuteoria@lukuteoria}
\key{Lukuteoria} on kokonaislukuja tutkiva
matematiikan ala, jonka keskeinen
käsite on lukujen jaollisuus.
Lukuteoriassa on kiehtovaa, että monet kokonaislukuihin
liittyvät kysymykset ovat hyvin vaikeita ratkaista,
vaikka ne saattavat näyttää päältä päin yksinkertaisilta.
Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa yhtälöä:
\[x^3 + y^3 + z^3 = 33\]
On helppoa löytää kolme reaalilukua $x$, $y$ ja $z$,
jotka toteuttavat yhtälön. Voimme valita
esimerkiksi
\[
\begin{array}{lcl}
x = 3, \\
y = \sqrt[3]{3}, \\
z = \sqrt[3]{3}.\\
\end{array}
\]
Sen sijaan kukaan ei tiedä, onko olemassa
kolmea \emph{kokonaislukua} $x$, $y$ ja $z$,
jotka toteuttaisivat yhtälön, vaan kyseessä
on avoin lukuteorian ongelma.
Tässä luvussa tutustumme lukuteorian peruskäsitteisiin ja
-algoritmeihin.
Lähdemme liikkeelle lukujen jaollisuudesta,
johon liittyvät keskeiset algoritmit ovat
alkuluvun tarkastaminen sekä luvun jakaminen tekijöihin.
\section{Alkuluvut ja tekijät}
\index{jaollisuus@jaollisuus}
\index{jakaja@jakaja}
\index{tekijx@tekijä}
Luku $a$ on luvun $b$ \key{jakaja} eli \key{tekijä},
jos $b$ on jaollinen $a$:lla.
Jos $a$ on $b$:n jakaja,
niin merkitään $a \mid b$,
ja muuten merkitään $a \nmid b$.
Esimerkiksi luvun 24 jakajat ovat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24.
\index{alkuluku@alkuluku}
\index{alkutekijxhajotelma@alkutekijähajotelma}
Luku $n>1$ on \key{alkuluku}, jos sen ainoat
positiiviset jakajat ovat 1 ja $n$.
Esimerkiksi luvut 7, 19 ja 41 ovat alkulukuja.
Luku 35 taas ei ole alkuluku, koska se voidaan
jakaa tekijöihin $5 \cdot 7 = 35$.
Jokaiselle luvulle $n>1$ on olemassa yksikäsitteinen
\key{alkutekijähajotelma}
\[ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k},\]
missä $p_1,p_2,\ldots,p_k$ ovat alkulukuja
ja $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ ovat positiivisia
lukuja. Esimerkiksi luvun 84 alkutekijähajotelma on
\[84 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1.\]
Luvun $n$ \key{jakajien määrä} on
\[\tau(n)=\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1),\]
koska alkutekijän $p_i$ kohdalla on $\alpha_i+1$
tapaa valita, montako kertaa alkutekijä
esiintyy jakajassa.
Esimerkiksi luvun 84 jakajien määrä
on $\tau(84)=3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
Jakajat ovat
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 ja 84.
Luvun $n$ \key{jakajien summa} on
\[\sigma(n)=\prod_{i=1}^k (1+p_i+\ldots+p_i^{\alpha_i}) = \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1},\]
missä jälkimmäinen muoto perustuu geometriseen summaan.
Esimerkiksi luvun 84 jakajien summa on
\[\sigma(84)=\frac{2^3-1}{2-1} \cdot \frac{3^2-1}{3-1} \cdot \frac{7^2-1}{7-1} = 7 \cdot 4 \cdot 8 = 224.\]
Luvun $n$ \key{jakajien tulo} on
\[\mu(n)=n^{\tau(n)/2},\]
koska jakajista voidaan muodostaa
$\tau(n)/2$ paria, joiden jokaisen tulona on $n$.
Esimerkiksi luvun 84 jakajista muodostuvat parit
$1 \cdot 84$, $2 \cdot 42$, $3 \cdot 28$, jne.,
ja jakajien tulo on $\mu(84)=84^6=351298031616$.
%\index{tzydellinen luku@täydellinen luku}
\index{txydellinen luku@täydellinen luku}
Luku $n$ on \key{täydellinen}, jos $n=\sigma(n)-n$
eli luku on yhtä suuri kuin summa sen jakajista
välillä $1 \ldots n-1$.
Esimerkiksi luku 28 on täydellinen, koska
se muodostuu summana $1+2+4+7+14$.
\subsubsection{Alkulukujen määrä}
On helppoa osoittaa, että alkulukuja on äärettömästi.
Jos nimittäin alkulukuja olisi äärellinen määrä,
voisimme muodostaa joukon $P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$,
joka sisältää kaikki alkuluvut.
Esimerkiksi $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, jne.
Nyt kuitenkin voisimme muodostaa uuden alkuluvun
\[p_1 p_2 \cdots p_n+1,\]
joka on kaikkia $P$:n lukuja suurempi.
Koska tätä lukua ei ole joukossa $P$,
syntyy ristiriita ja alkulukujen määrän on
pakko olla ääretön.
\subsubsection{Alkulukujen tiheys}
Alkulukujen tiheys tarkoittaa, kuinka usein alkulukuja
esiintyy muiden lukujen joukossa.
Merkitään funktiolla $\pi(n)$,
montako alkulukua on välillä $1 \ldots n$.
Esimerkiksi $\pi(10)=4$, koska välillä $1 \ldots 10$
on alkuluvut 2, 3, 5 ja 7.
On mahdollista osoittaa, että
\[\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n},\]
mikä tarkoittaa, että alkulukuja esiintyy
varsin usein. Esimerkiksi alkulukujen määrä
välillä $1 \ldots 10^6$ on $\pi(10^6)=78498$
ja $10^6 / \ln 10^6 \approx 72382$.
\subsubsection{Konjektuureja}
Alkulukuihin liittyy useita \emph{konjektuureja}
eli lauseita, joiden uskotaan olevan tosia mutta
joita kukaan ei ole onnistunut todistamaan tähän mennessä.
Kuuluisia konjektuureja ovat seuraavat:
\begin{itemize}
\index{Goldbachin konjektuuri@Goldbachin konjektuuri}
\item \key{Goldbachin konjektuuri}:
Jokainen parillinen kokonaisluku $n>2$ voidaan esittää
muodossa $n=a+b$ niin, että $a$ ja $b$
ovat alkulukuja.
\index{alkulukupari@alkulukupari}
\item \key{Alkulukuparit}:
On olemassa äärettömästi pareja muotoa $\{p,p+2\}$,
joissa sekä $p$ että $p+2$ on alkuluku.
\index{Legendren konjektuuri@Legendren konjektuuri}
\item \key{Legendren konjektuuri}:
Lukujen $n^2$ ja $(n+1)^2$ välillä on aina alkuluku,
kun $n$ on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.
\end{itemize}
\subsubsection{Perusalgoritmit}
Jos luku $n$ ei ole alkuluku,
niin sen voi esittää muodossa $a \cdot b$,
missä $a \le \sqrt n$ tai $b \le \sqrt n$,
minkä ansiosta sillä on varmasti
tekijä välillä $2 \ldots \sqrt n$.
Tämän havainnon avulla voi tarkastaa ajassa $O(\sqrt n)$,
onko luku alkuluku,
sekä myös selvittää ajassa $O(\sqrt n)$
luvun alkutekijät.
Seuraava funktio \texttt{alkuluku} tutkii,
onko annettu luku $n$ alkuluku.
Funktio koettaa jakaa lukua kaikilla luvuilla
välillä $2 \ldots \sqrt n$, ja jos mikään
luvuista ei jaa $n$:ää, niin $n$ on alkuluku.
\begin{lstlisting}
bool alkuluku(int n) {
if (n < 2) return false;
for (int x = 2; x*x <= n; x++) {
if (n%x == 0) return false;
}
return true;
}
\end{lstlisting}
\noindent
Seuraava funktio \texttt{tekijat} muodostaa
vektorin, joka sisältää luvun $n$
alkutekijät.
Funktio jakaa $n$:ää sen alkutekijöillä ja lisää
niitä samaan aikaan vektoriin.
Prosessi päättyy, kun jäljellä on luku $n$,
jolla ei ole tekijää välillä $2 \ldots \sqrt n$.
Jos $n>1$, se on alkuluku ja viimeinen tekijä.
\begin{lstlisting}
vector<int> tekijat(int n) {
vector<int> f;
for (int x = 2; x*x <= n; x++) {
while (n%x == 0) {
f.push_back(x);
n /= x;
}
}
if (n > 1) f.push_back(n);
return f;
}
\end{lstlisting}
Huomaa, että funktio lisää jokaisen
alkutekijän vektoriin
niin monta kertaa, kuin kyseinen
alkutekijä jakaa luvun.
Esimerkiksi $24=2^3 \cdot 3$,
joten funktio muodostaa vektorin $[2,2,2,3]$.
\subsubsection{Eratostheneen seula}
\index{Eratostheneen seula@Eratostheneen seula}
\key{Eratostheneen seula} on esilaskenta-algoritmi,
jonka suorituksen jälkeen mistä tahansa
välin $2 \ldots n$ luvusta pystyy tarkastamaan
nopeasti, onko se alkuluku,
sekä etsimään yhden luvun alkutekijän,
jos luku ei ole alkuluku.
Algoritmi luo taulukon $\texttt{a}$,
jossa on käytössä indeksit $2,3,\ldots,n$.
Taulukossa $\texttt{a}[k]=0$ tarkoittaa,
että $k$ on alkuluku,
ja $\texttt{a}[k] \neq 0$ tarkoittaa,
että $k$ ei ole alkuluku.
Jälkimmäisessä tapauksessa $\texttt{a}[k]$
on yksi $k$:n alkutekijöistä.
Algoritmi käy läpi välin
$2 \ldots n$ luvut yksi kerrallaan.
Aina kun vastaan tulee uusi alkuluku $x$,
niin algoritmi merkitsee taulukkoon, että $x$:n moninkerrat
$2x,3x,4x,\ldots$ eivät ole alkulukuja,
koska niillä on alkutekijä $x$.
Esimerkiksi jos $n=20$,
taulukosta tulee:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0) grid (19,1);
\node at (0.5,0.5) {$0$};
\node at (1.5,0.5) {$0$};
\node at (2.5,0.5) {$2$};
\node at (3.5,0.5) {$0$};
\node at (4.5,0.5) {$3$};
\node at (5.5,0.5) {$0$};
\node at (6.5,0.5) {$2$};
\node at (7.5,0.5) {$3$};
\node at (8.5,0.5) {$5$};
\node at (9.5,0.5) {$0$};
\node at (10.5,0.5) {$3$};
\node at (11.5,0.5) {$0$};
\node at (12.5,0.5) {$7$};
\node at (13.5,0.5) {$5$};
\node at (14.5,0.5) {$2$};
\node at (15.5,0.5) {$0$};
\node at (16.5,0.5) {$3$};
\node at (17.5,0.5) {$0$};
\node at (18.5,0.5) {$5$};
\footnotesize
\node at (0.5,1.5) {$2$};
\node at (1.5,1.5) {$3$};
\node at (2.5,1.5) {$4$};
\node at (3.5,1.5) {$5$};
\node at (4.5,1.5) {$6$};
\node at (5.5,1.5) {$7$};
\node at (6.5,1.5) {$8$};
\node at (7.5,1.5) {$9$};
\node at (8.5,1.5) {$10$};
\node at (9.5,1.5) {$11$};
\node at (10.5,1.5) {$12$};
\node at (11.5,1.5) {$13$};
\node at (12.5,1.5) {$14$};
\node at (13.5,1.5) {$15$};
\node at (14.5,1.5) {$16$};
\node at (15.5,1.5) {$17$};
\node at (16.5,1.5) {$18$};
\node at (17.5,1.5) {$19$};
\node at (18.5,1.5) {$20$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Seuraava koodi toteuttaa
Eratostheneen seulan.
Koodi olettaa, että jokainen taulukon \texttt{a}
alkio on aluksi 0.
\begin{lstlisting}
for (int x = 2; x <= n; x++) {
if (a[x]) continue;
for (int u = 2*x; u <= n; u += x) {
a[u] = x;
}
}
\end{lstlisting}
Algoritmin sisäsilmukka suoritetaan
$n/x$ kertaa tietyllä $x$:n arvolla,
joten yläraja algoritmin ajankäytölle
on harmoninen summa
\index{harmoninen summa@harmoninen summa}
\[\sum_{x=2}^n n/x = n/2 + n/3 + n/4 + \cdots + n/n = O(n \log n).\]
Todellisuudessa algoritmi on vielä nopeampi,
koska sisäsilmukka suoritetaan vain,
jos luku $x$ on alkuluku.
Voidaan osoittaa, että algoritmin aikavaativuus
on vain $O(n \log \log n)$ eli hyvin lähellä vaativuutta $O(n)$.
\subsubsection{Eukleideen algoritmi}
\index{suurin yhteinen tekijx@suurin yhteinen tekijä}
\index{pienin yhteinen moninkerta@pienin yhteinen moninkerta}
\index{Eukleideen algoritmi@Eukleideen algoritmi}
Lukujen $a$ ja $b$ \key{suurin yhteinen tekijä} eli $\textrm{syt}(a,b)$
on suurin luku, jolla sekä $a$ että $b$ on jaollinen.
Lukujen $a$ ja $b$ \key{pienin yhteinen moninkerta} eli $\textrm{pym}(a,b)$
on puolestaan pienin luku, joka on jaollinen sekä $a$:lla että $b$:llä.
Esimerkiksi $\textrm{syt}(24,36)=12$ ja
$\textrm{pym}(24,36)=72$.
Suurimman yhteisen tekijän ja pienimmän yhteisen
moninkerran välillä on yhteys
\[\textrm{pym}(a,b)=\frac{ab}{\textrm{syt}(a,b)}.\]
\key{Eukleideen algoritmi} on tehokas tapa etsiä
suurin yhteinen tekijä.
Se laskee suurimman yhteisen tekijän kaavalla
\begin{equation*}
\textrm{syt}(a,b) = \begin{cases}
a & b = 0\\
\textrm{syt}(b,a \bmod b) & b \neq 0\\
\end{cases}
\end{equation*}
Esimerkiksi
\[\textrm{syt}(24,36) = \textrm{syt}(36,24)
= \textrm{syt}(24,12) = \textrm{syt}(12,0)=12.\]
Eukleideen algoritmin aikavaativuus
on $O(\log n)$, kun $n=\min(a,b)$.
Pahin tapaus algoritmille on, jos luvut ovat
peräkkäiset Fibonaccin luvut.
Silloin algoritmi käy läpi kaikki pienemmät
peräkkäiset Fibonaccin luvut.
Esimerkiksi
\[\textrm{syt}(13,8)=\textrm{syt}(8,5)
=\textrm{syt}(5,3)=\textrm{syt}(3,2)=\textrm{syt}(2,1)=\textrm{syt}(1,0)=1.\]
\subsubsection{Eulerin totienttifunktio}
\index{suhteellinen alkuluku@suhteellinen alkuluku}
\index{Eulerin totienttifunktio@Eulerin totienttifunktio}
Luvut $a$ ja $b$ ovat suhteelliset alkuluvut,
jos $\textrm{syt}(a,b)=1$.
\key{Eulerin totienttifunktio} $\varphi(n)$
laskee luvun $n$ suhteellisten alkulukujen
määrän välillä $1 \ldots n$.
Esimerkiksi $\varphi(12)=4$,
koska luvut 1, 5, 7 ja 11 ovat suhteellisia
alkulukuja luvun 12:n kanssa.
Totienttifunktion arvon $\varphi(n)$ pystyy laskemaan
luvun $n$ alkutekijähajotelmasta kaavalla
\[ \varphi(n) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1). \]
Esimerkiksi $\varphi(12)=2^1 \cdot (2-1) \cdot 3^0 \cdot (3-1)=4$.
Huomaa myös, että $\varphi(n)=n-1$,
jos $n$ on alkuluku.
\section{Modulolaskenta}
\index{modulolaskenta@modulolaskenta}
\key{Modulolaskennassa} lukualuetta rajoitetaan
niin, että käytössä ovat vain
kokonaisluvut $0,1,2,\ldots,m-1$,
missä $m$ on vakio.
Ideana on, että lukua $x$ vastaa luku $x \bmod m$
eli luvun $x$ jakojäännös luvulla $m$.
Esimerkiksi jos $m=17$, niin lukua $75$ vastaa luku
$75 \bmod 17 = 7$.
Useissa laskutoimituksissa jakojäännöksen voi laskea
ennen laskutoimitusta, minkä ansiosta saadaan seuraavat kaavat:
\[
\begin{array}{rcl}
(x+y) \bmod m & = & (x \bmod m + y \bmod m) \bmod m \\
(x-y) \bmod m & = & (x \bmod m - y \bmod m) \bmod m \\
(x \cdot y) \bmod m & = & (x \bmod m \cdot y \bmod m) \bmod m \\
(x^k) \bmod m & = & (x \bmod m)^k \bmod m \\
\end{array}
\]
\subsubsection{Tehokas potenssilasku}
Modulolaskennassa tulee usein tarvetta laskea
tehokkaasti potenssilasku $x^n$.
Tämä onnistuu ajassa $O(\log n)$
seuraavan rekursion avulla:
\begin{equation*}
x^n = \begin{cases}
1 & n = 0\\
x^{n/2} \cdot x^{n/2} & \text{$n$ on parillinen}\\
x^{n-1} \cdot x & \text{$n$ on pariton}
\end{cases}
\end{equation*}
Oleellista on, että parillisen $n$:n
tapauksessa luku $x^{n/2}$ lasketaan vain kerran.
Tämän ansiosta potenssilaskun aikavaativuus on $O(\log n)$,
koska $n$:n koko puolittuu aina silloin,
kun $n$ on parillinen.
Seuraava funktio laskee luvun $x^n \bmod m$:
\begin{lstlisting}
int pot(int x, int n, int m) {
if (n == 0) return 1%m;
int u = pot(x,n/2,m);
u = (u*u)%m;
if (n%2 == 1) u = (u*x)%m;
return u;
}
\end{lstlisting}
\subsubsection{Fermat'n pieni lause ja Eulerin lause}
\index{Fermat'n pieni lause}
\index{Eulerin lause@Eulerin lause}
\key{Fermat'n pienen lauseen} mukaan
\[x^{m-1} \bmod m = 1,\]
kun $m$ on alkuluku ja $x$ ja $m$ ovat suhteelliset alkuluvut.
Tällöin myös
\[x^k \bmod m = x^{k \bmod (m-1)} \bmod m.\]
Yleisemmin \key{Eulerin lauseen} mukaan
\[x^{\varphi(m)} \bmod m = 1,\]
kun $x$ ja $m$ ovat suhteelliset alkuluvut.
Fermat'n pieni lause seuraa Eulerin lauseesta,
koska jos $m$ on alkuluku, niin $\varphi(m)=m-1$.
\subsubsection{Modulon käänteisluku}
\index{modulon kxxnteisluku@modulon käänteisluku}
Luvun $x$ käänteisluku modulo $m$
tarkoittaa sellaista lukua $x^{-1}$,
että
\[ x x^{-1} \bmod m = 1. \]
Esimerkiksi jos $x=6$ ja $m=17$,
niin $x^{-1}=3$, koska $6\cdot3 \bmod 17=1$.
Modulon käänteisluku mahdollistaa
jakolaskun laskemisen modulossa,
koska jakolasku luvulla $x$ vastaa
kertolaskua luvulla $x^{-1}$.
Esimerkiksi jos haluamme laskea
jakolaskun $36/6 \bmod 17$,
voimme muuttaa sen muotoon $2 \cdot 3 \bmod 17$,
koska $36 \bmod 17 = 2$ ja $6^{-1} \bmod 17 = 3$.
Modulon käänteislukua ei
kuitenkaan ole aina olemassa.
Esimerkiksi jos $x=2$ ja $m=4$,
yhtälölle
\[ x x^{-1} \bmod m = 1. \]
ei ole ratkaisua, koska kaikki luvun 2
moninkerrat ovat parillisia eikä jakojäännös
4:llä voi koskaan olla 1.
Osoittautuu, että $x^{-1} \bmod m$
on olemassa tarkalleen silloin,
kun $x$ ja $m$ ovat suhteelliset alkuluvut.
Jos modulon käänteisluku on olemassa,
sen saa laskettua kaavalla
\[
x^{-1} = x^{\varphi(m)-1}.
\]
Erityisesti jos $m$ on alkuluku, kaavasta tulee
\[
x^{-1} = x^{m-2}.
\]
Esimerkiksi jos $x=6$ ja $m=17$, niin
\[x^{-1}=6^{17-2} \bmod 17 = 3.\]
Tämän kaavan ansiosta modulon käänteisluvun pystyy
laskemaan nopeasti tehokkaan potenssilaskun avulla.
Modulon käänteisluvun kaavan voi perustella Eulerin lauseen avulla.
Ensinnäkin käänteisluvulle täytyy päteä
\[
x x^{-1} \bmod m = 1.
\]
Toisaalta Eulerin lauseen mukaan
\[
x^{\varphi(m)} \bmod m = xx^{\varphi(m)-1} \bmod m = 1,
\]
joten lukujen $x^{-1}$ ja $x^{\varphi(m)-1}$ on oltava samat.
\subsubsection{Modulot tietokoneessa}
Tietokone käsittelee etumerkittömiä kokonaislukuja
modulo $2^k$, missä $k$ on luvun bittien määrä.
Usein näkyvä seuraus tästä on luvun arvon pyörähtäminen
ympäri, jos luku kasvaa liian suureksi.
Esimerkiksi C++:ssa \texttt{unsigned int} -tyyppinen
arvo lasketaan modulo $2^{32}$.
Seuraava koodi määrittelee muuttujan
tyyppiä \texttt{unsigned int},
joka saa arvon $123456789$.
Sitten muuttujan arvo kerrotaan itsellään,
jolloin tuloksena on luku
$123456789^2 \bmod 2^{32} = 2537071545$.
\begin{lstlisting}
unsigned int x = 123456789;
cout << x*x << "\n"; // 2537071545
\end{lstlisting}
\section{Yhtälönratkaisu}
\index{Diofantoksen yhtxlz@Diofantoksen yhtälö}
\key{Diofantoksen yhtälö} on muotoa
\[ ax + by = c, \]
missä $a$, $b$ ja $c$ ovat vakioita
ja tehtävänä on ratkaista muuttujat $x$ ja $y$.
Jokaisen yhtälössä esiintyvän luvun tulee
olla kokonaisluku.
Esimerkiksi jos yhtälö on $5x+2y=11$, yksi ratkaisu
on valita $x=3$ ja $y=-2$.
\index{Eukleideen algoritmi@Eukleideen algoritmi}
Diofantoksen yhtälön voi ratkaista
tehokkaasti Eukleideen algoritmin avulla,
koska Eukleideen algoritmia laajentamalla
pystyy löytämään luvun $\textrm{syt}(a,b)$
lisäksi luvut $x$ ja $y$,
jotka toteuttavat yhtälön
\[
ax + by = \textrm{syt}(a,b).
\]
Diofantoksen yhtälön ratkaisu on olemassa, jos $c$ on
jaollinen $\textrm{syt}(a,b)$:llä,
ja muussa tapauksessa yhtälöllä ei ole ratkaisua.
\index{laajennettu Eukleideen algoritmi@laajennettu Eukleideen algoritmi}
\subsubsection*{Laajennettu Eukleideen algoritmi}
Etsitään esimerkkinä luvut $x$ ja $y$,
jotka toteuttavat yhtälön
\[
39x + 15y = 12.
\]
Yhtälöllä on ratkaisu, koska $\textrm{syt}(39,15)=3$
ja $3 \mid 12$.
Kun Eukleideen algoritmi laskee lukujen
39 ja 15 suurimman
yhteisen tekijän, syntyy ketju
\[
\textrm{syt}(39,15) = \textrm{syt}(15,9)
= \textrm{syt}(9,6) = \textrm{syt}(6,3)
= \textrm{syt}(3,0) = 3. \]
Algoritmin aikana muodostuvat jakoyhtälöt ovat:
\[
\begin{array}{lcl}
39 - 2 \cdot 15 & = & 9 \\
15 - 1 \cdot 9 & = & 6 \\
9 - 1 \cdot 6 & = & 3 \\
\end{array}
\]
Näiden yhtälöiden avulla saadaan
\[
39 \cdot 2 + 15 \cdot (-5) = 3
\]
ja kertomalla yhtälö 4:lla tuloksena on
\[
39 \cdot 8 + 15 \cdot (-20) = 12,
\]
joten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on $x=8$ ja $y=-20$.
Diofantoksen yhtälön ratkaisu ei ole yksikäsitteinen,
vaan yhdestä ratkaisusta on mahdollista muodostaa
äärettömästi muita ratkaisuja.
Kun yhtälön ratkaisu on $(x,y)$,
niin myös
\[(x+\frac{kb}{\textrm{syt}(a,b)},y-\frac{ka}{\textrm{syt}(a,b)})\]
on ratkaisu, missä $k$ on mikä tahansa kokonaisluku.
\subsubsection{Kiinalainen jäännöslause}
\index{kiinalainen jxxnnzslause@kiinalainen jäännöslause}
\key{Kiinalainen jäännöslause} ratkaisee yhtälöryhmän muotoa
\[
\begin{array}{lcl}
x & = & a_1 \bmod m_1 \\
x & = & a_2 \bmod m_2 \\
\cdots \\
x & = & a_n \bmod m_n \\
\end{array}
\]
missä kaikki parit luvuista $m_1,m_2,\ldots,m_n$
ovat suhteellisia alkulukuja.
Olkoon $x^{-1}_m$ luvun $x$ käänteisluku
modulo $m$ ja
\[ X_k = \frac{m_1 m_2 \cdots m_n}{m_k}.\]
Näitä merkintöjä käyttäen yhtälöryhmän ratkaisu on
\[x = a_1 X_1 {X_1}^{-1}_{m_1} + a_2 X_2 {X_2}^{-1}_{m_2} + \cdots + a_n X_n {X_n}^{-1}_{m_n}.\]
Tässä ratkaisussa jokaiselle luvulle $k=1,2,\ldots,n$
pätee, että
\[a_k X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = a_k,\]
sillä
\[X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = 1.\]
Koska kaikki muut summan osat ovat jaollisia luvulla
$m_k$, ne eivät vaikuta jakojäännökseen ja
koko summan jakojäännös $m_k$:lla on $a_k$.
Esimerkiksi yhtälöryhmän
\[
\begin{array}{lcl}
x & = & 3 \bmod 5 \\
x & = & 4 \bmod 7 \\
x & = & 2 \bmod 3 \\
\end{array}
\]
ratkaisu on
\[ 3 \cdot 21 \cdot 1 + 4 \cdot 15 \cdot 1 + 2 \cdot 35 \cdot 2 = 263.\]
Kun yksi ratkaisu $x$ on löytynyt,
sen avulla voi muodostaa äärettömästi
erilaisia ratkaisuja, koska kaikki luvut muotoa
\[x+m_1 m_2 \cdots m_n\]
ovat ratkaisuja.
\section{Muita tuloksia}
\subsubsection{Lagrangen lause}
\index{Lagrangen lause@Lagrangen lause}
\key{Lagrangen lauseen} mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan
esittää neljän neliöluvun summana eli muodossa $a^2+b^2+c^2+d^2$.
Esimerkiksi luku 123 voidaan esittää muodossa $8^2+5^2+5^2+3^2$.
\subsubsection{Zeckendorfin lause}
\index{Zeckendorfin lause@Zeckendorfin lause}
\index{Fibonaccin luku@Fibonaccin luku}
\key{Zeckendorfin lauseen} mukaan
jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle
on olemassa yksikäsitteinen esitys
Fibonaccin lukujen summana niin, että
mitkään kaksi lukua eivät ole samat eivätkä peräkkäiset
Fibonaccin luvut.
Esimerkiksi luku 74 voidaan esittää muodossa
$55+13+5+1$.
\subsubsection{Pythagoraan kolmikot}
\index{Pythagoraan kolmikko@Pythagoraan kolmikko}
\index{Eukleideen kaava@Eukleideen kaava}
\key{Pythagoraan kolmikko} on lukukolmikko $(a,b,c)$,
joka toteuttaa Pythagoraan lauseen $a^2+b^2=c^2$
eli $a$, $b$ ja $c$ voivat olla suorakulmaisen
kolmion sivujen pituudet.
Esimerkiksi $(3,4,5)$ on Pythagoraan kolmikko.
Jos $(a,b,c)$ on Pythagoraan kolmikko,
niin myös kaikki kolmikot muotoa $(ka,kb,kc)$
ovat Pythagoraan kolmikoita,
missä $k>1$.
Pythagoraan kolmikko on \key{primitiivinen},
jos $a$, $b$ ja $c$ ovat suhteellisia alkulukuja,
ja primitiivisistä kolmikoista voi muodostaa
kaikki muut kolmikot kertoimen $k$ avulla.
\key{Eukleideen kaavan} mukaan jokainen primitiivinen
Pythagoraan kolmikko on muotoa
\[(n^2-m^2,2nm,n^2+m^2),\]
missä $0<m<n$, $n$ ja $m$ ovat suhteelliset
alkuluvut ja ainakin toinen luvuista $n$ ja $m$ on parillinen.
Esimerkiksi valitsemalla $m=1$ ja $n=2$ syntyy
pienin mahdollinen Pythagoraan kolmikko
\[(2^2-1^2,2\cdot2\cdot1,2^2+1^2)=(3,4,5).\]
\subsubsection{Wilsonin lause}
\index{Wilsonin lause@Wilsonin lause}
\key{Wilsonin lauseen} mukaan luku $n$ on alkuluku
tarkalleen silloin, kun
\[(n-1)! \bmod n = n-1.\]
Esimerkiksi luku 11 on alkuluku, koska
\[10! \bmod 11 = 10,\]
ja luku 12 ei ole alkuluku, koska
\[11! \bmod 12 = 0 \neq 11.\]
Wilsonin lauseen avulla voi siis tutkia, onko luku alkuluku.
Tämä ei ole kuitenkaan käytännössä hyvä tapa,
koska luvun $(n-1)!$ laskeminen on työlästä,
jos $n$ on suuri luku.