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0968.监控二叉树.md

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968.监控二叉树

力扣题目链接

给定一个二叉树，我们在树的节点上安装摄像头。

节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。

计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。

示例 1：

  • 输入：[0,0,null,0,0]
  • 输出：1
  • 解释：如图所示，一台摄像头足以监控所有节点。

示例 2：

  • 输入：[0,0,null,0,null,0,null,null,0]
  • 输出：2
  • 解释：需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。

提示：

  • 给定树的节点数的范围是 [1, 1000]。
  • 每个节点的值都是 0。

思路

这道题目首先要想，如何放置，才能让摄像头最小的呢？

从题目中示例，其实可以得到启发，我们发现题目示例中的摄像头都没有放在叶子节点上！

这是很重要的一个线索，摄像头可以覆盖上中下三层，如果把摄像头放在叶子节点上，就浪费的一层的覆盖。

所以把摄像头放在叶子节点的父节点位置，才能充分利用摄像头的覆盖面积。

那么有同学可能问了，为什么不从头结点开始看起呢，为啥要从叶子节点看呢？

因为头结点放不放摄像头也就省下一个摄像头， 叶子节点放不放摄像头省下了的摄像头数量是指数阶别的。

所以我们要从下往上看，局部最优：让叶子节点的父节点安摄像头，所用摄像头最少，整体最优：全部摄像头数量所用最少！

局部最优推出全局最优，找不出反例，那么就按照贪心来！

此时，大体思路就是从低到上，先给叶子节点父节点放个摄像头，然后隔两个节点放一个摄像头，直至到二叉树头结点。

此时这道题目还有两个难点：

  1. 二叉树的遍历
  2. 如何隔两个节点放一个摄像头

确定遍历顺序

在二叉树中如何从低向上推导呢？

可以使用后序遍历也就是左右中的顺序，这样就可以在回溯的过程中从下到上进行推导了。

后序遍历代码如下：

int traversal(TreeNode* cur) {

    // 空节点，该节点有覆盖
    if (终止条件) return ;

    int left = traversal(cur->left);    // 左
    int right = traversal(cur->right);  // 右

    逻辑处理                            // 中
    return ;
}

注意在以上代码中我们取了左孩子的返回值，右孩子的返回值，即left 和 right， 以后推导中间节点的状态

如何隔两个节点放一个摄像头

此时需要状态转移的公式，大家不要和动态的状态转移公式混到一起，本题状态转移没有择优的过程，就是单纯的状态转移！

来看看这个状态应该如何转移，先来看看每个节点可能有几种状态：

有如下三种：

  • 该节点无覆盖
  • 本节点有摄像头
  • 本节点有覆盖

我们分别有三个数字来表示：

  • 0：该节点无覆盖
  • 1：本节点有摄像头
  • 2：本节点有覆盖

大家应该找不出第四个节点的状态了。

一些同学可能会想有没有第四种状态：本节点无摄像头，其实无摄像头就是 无覆盖 或者 有覆盖的状态，所以一共还是三个状态。

因为在遍历树的过程中，就会遇到空节点，那么问题来了，空节点究竟是哪一种状态呢？ 空节点表示无覆盖？ 表示有摄像头？还是有覆盖呢？

回归本质，为了让摄像头数量最少，我们要尽量让叶子节点的父节点安装摄像头，这样才能摄像头的数量最少。

那么空节点不能是无覆盖的状态，这样叶子节点就要放摄像头了，空节点也不能是有摄像头的状态，这样叶子节点的父节点就没有必要放摄像头了，而是可以把摄像头放在叶子节点的爷爷节点上。

所以空节点的状态只能是有覆盖，这样就可以在叶子节点的父节点放摄像头了

接下来就是递推关系。

那么递归的终止条件应该是遇到了空节点，此时应该返回2（有覆盖），原因上面已经解释过了。

代码如下：

// 空节点，该节点有覆盖
if (cur == NULL) return 2;

递归的函数，以及终止条件已经确定了，再来看单层逻辑处理。

主要有如下四类情况：

  • 情况1：左右节点都有覆盖

左孩子有覆盖，右孩子有覆盖，那么此时中间节点应该就是无覆盖的状态了。

如图：

968.监控二叉树2

代码如下：

// 左右节点都有覆盖
if (left == 2 && right == 2) return 0;
  • 情况2：左右节点至少有一个无覆盖的情况

如果是以下情况，则中间节点（父节点）应该放摄像头：

  • left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖
  • left == 1 && right == 0 左节点有摄像头，右节点无覆盖
  • left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖，右节点摄像头
  • left == 0 && right == 2 左节点无覆盖，右节点覆盖
  • left == 2 && right == 0 左节点覆盖，右节点无覆盖

这个不难理解，毕竟有一个孩子没有覆盖，父节点就应该放摄像头。

此时摄像头的数量要加一，并且return 1，代表中间节点放摄像头。

代码如下：

if (left == 0 || right == 0) {
    result++;
    return 1;
}
  • 情况3：左右节点至少有一个有摄像头

如果是以下情况，其实就是 左右孩子节点有一个有摄像头了，那么其父节点就应该是2（覆盖的状态）

  • left == 1 && right == 2 左节点有摄像头，右节点有覆盖
  • left == 2 && right == 1 左节点有覆盖，右节点有摄像头
  • left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头

代码如下：

if (left == 1 || right == 1) return 2;

从这个代码中，可以看出，如果left == 1, right == 0 怎么办？其实这种条件在情况2中已经判断过了，如图：

968.监控二叉树1

这种情况也是大多数同学容易迷惑的情况。

  1. 情况4：头结点没有覆盖

以上都处理完了，递归结束之后，可能头结点 还有一个无覆盖的情况，如图：

968.监控二叉树3

所以递归结束之后，还要判断根节点，如果没有覆盖，result++，代码如下：

int minCameraCover(TreeNode* root) {
    result = 0;
    if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
        result++;
    }
    return result;
}

以上四种情况我们分析完了，代码也差不多了，整体代码如下：

（以下我的代码注释很详细，为了把情况说清楚，特别把每种情况列出来。）

C++代码如下：

// 版本一
class Solution {
private:
    int result;
    int traversal(TreeNode* cur) {

        // 空节点，该节点有覆盖
        if (cur == NULL) return 2;

        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右

        // 情况1
        // 左右节点都有覆盖
        if (left == 2 && right == 2) return 0;

        // 情况2
        // left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖
        // left == 1 && right == 0 左节点有摄像头，右节点无覆盖
        // left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖，右节点摄像头
        // left == 0 && right == 2 左节点无覆盖，右节点覆盖
        // left == 2 && right == 0 左节点覆盖，右节点无覆盖
        if (left == 0 || right == 0) {
            result++;
            return 1;
        }

        // 情况3
        // left == 1 && right == 2 左节点有摄像头，右节点有覆盖
        // left == 2 && right == 1 左节点有覆盖，右节点有摄像头
        // left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头
        // 其他情况前段代码均已覆盖
        if (left == 1 || right == 1) return 2;

        // 以上代码我没有使用else，主要是为了把各个分支条件展现出来，这样代码有助于读者理解
        // 这个 return -1 逻辑不会走到这里。
        return -1;
    }

public:
    int minCameraCover(TreeNode* root) {
        result = 0;
        // 情况4
        if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
            result++;
        }
        return result;
    }
};

在以上代码的基础上，再进行精简，代码如下：

// 版本二
class Solution {
private:
    int result;
    int traversal(TreeNode* cur) {
        if (cur == NULL) return 2;
        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右
        if (left == 2 && right == 2) return 0;
        else if (left == 0 || right == 0) {
            result++;
            return 1;
        } else return 2;
    }
public:
    int minCameraCover(TreeNode* root) {
        result = 0;
        if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
            result++;
        }
        return result;
    }
};

大家可能会惊讶，居然可以这么简短，其实就是在版本一的基础上，使用else把一些情况直接覆盖掉了。

在网上关于这道题解可以搜到很多这种神级别的代码，但都没讲不清楚，如果直接看代码的话，指定越看越晕，所以建议大家对着版本一的代码一步一步来，版本二中看不中用！。

总结

本题的难点首先是要想到贪心的思路，然后就是遍历和状态推导。

在二叉树上进行状态推导，其实难度就上了一个台阶了，需要对二叉树的操作非常娴熟。

这道题目是名副其实的hard，大家感受感受。

其他语言版本

Java

class Solution {
    int  res=0;
    public int minCameraCover(TreeNode root) {
        // 对根节点的状态做检验,防止根节点是无覆盖状态 .
        if(minCame(root)==0){
            res++;
        }
        return res;
    }
    /**
     节点的状态值：
       0 表示无覆盖 
       1 表示 有摄像头
       2 表示有覆盖 
    后序遍历，根据左右节点的情况,来判读 自己的状态
     */
    public int minCame(TreeNode root){
        if(root==null){
            // 空节点默认为 有覆盖状态，避免在叶子节点上放摄像头 
            return 2;
        }
        int left=minCame(root.left);
        int  right=minCame(root.right);
        
        // 如果左右节点都覆盖了的话, 那么本节点的状态就应该是无覆盖,没有摄像头
        if(left==2&&right==2){
            //(2,2) 
            return 0;
        }else if(left==0||right==0){
            // 左右节点都是无覆盖状态,那 根节点此时应该放一个摄像头
            // (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (2,0) 
            // 状态值为 1 摄像头数 ++;
            res++;
            return 1;
        }else{
            // 左右节点的 状态为 (1,1) (1,2) (2,1) 也就是左右节点至少存在 1个摄像头，
            // 那么本节点就是处于被覆盖状态 
            return 2;
        }
    }
}

Python

class Solution:
    def minCameraCover(self, root: TreeNode) -> int:
        # Greedy Algo:
        # 从下往上安装摄像头：跳过leaves这样安装数量最少，局部最优 -> 全局最优
        # 先给leaves的父节点安装，然后每隔两层节点安装一个摄像头，直到Head
        # 0: 该节点未覆盖
        # 1: 该节点有摄像头
        # 2: 该节点有覆盖
        
        result = 0
        # 从下往上遍历：后序（左右中）
        def traversal(curr: TreeNode) -> int:
            nonlocal result
            
            if not curr: return 2
            left = traversal(curr.left)
            right = traversal(curr.right)

            # Case 1:
            # 左右节点都有覆盖
            if left == 2 and right == 2: 
                return 0

            # Case 2:
                # left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖
                # left == 1 && right == 0 左节点有摄像头，右节点无覆盖
                # left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖，右节点摄像头
                # left == 0 && right == 2 左节点无覆盖，右节点覆盖
                # left == 2 && right == 0 左节点覆盖，右节点无覆盖
            elif left == 0 or right == 0: 
                result += 1
                return 1

            # Case 3:
                # left == 1 && right == 2 左节点有摄像头，右节点有覆盖
                # left == 2 && right == 1 左节点有覆盖，右节点有摄像头
                # left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头
            elif left == 1 or right == 1:
                return 2
            
            # 其他情况前段代码均已覆盖

        if traversal(root) == 0:
            result += 1
            
        return result

Go

const inf = math.MaxInt64 / 2

func minCameraCover(root *TreeNode) int {
    var dfs func(*TreeNode) (a, b, c int)
    dfs = func(node *TreeNode) (a, b, c int) {
        if node == nil {
            return inf, 0, 0
        }
        lefta, leftb, leftc := dfs(node.Left)
        righta, rightb, rightc := dfs(node.Right)
        a = leftc + rightc + 1
        b = min(a, min(lefta+rightb, righta+leftb))
        c = min(a, leftb+rightb)
        return
    }
    _, ans, _ := dfs(root)
    return ans
}

func min(a, b int) int {
    if a <= b {
        return a
    }
    return b
}

Javascript

var minCameraCover = function(root) {
    let result = 0
    function traversal(cur) {
        if(cur === null) {
            return 2
        }

        let left = traversal(cur.left)
        let right = traversal(cur.right)

        if(left === 2 && right === 2) {
            return 0
        }

        if(left === 0 || right === 0) {
            result++
            return 1
        }

        if(left === 1 || right === 1) {
            return 2
        }

        return -1
    }

    if(traversal(root) === 0) {
        result++
    }

    return result
               
};

TypeScript

function minCameraCover(root: TreeNode | null): number {
    /** 0-无覆盖， 1-有摄像头， 2-有覆盖 */
    type statusCode = 0 | 1 | 2;
    let resCount: number = 0;
    if (recur(root) === 0) resCount++;
    return resCount;
    function recur(node: TreeNode | null): statusCode {
        if (node === null) return 2;
        const left: statusCode = recur(node.left),
            right: statusCode = recur(node.right);
        let resStatus: statusCode = 0;
        if (left === 0 || right === 0) {
            resStatus = 1;
            resCount++;
        } else if (left === 1 || right === 1) {
            resStatus = 2;
        } else {
            resStatus = 0;
        }
        return resStatus;
    }
};

C

/*
**函数后序遍历二叉树。判断一个结点状态时，根据其左右孩子结点的状态进行判断
**状态：0为没有被摄像头覆盖到。1为此结点处应设置摄像头。2为此结点已被摄像头覆盖
*/
int traversal(struct TreeNode* node, int* ans) {
    //递归结束条件：传入结点为NULL，假设此结点能被摄像头覆盖。这样方便与对叶子结点的判断，将叶子结点设为0
    if(!node)
        return 2;
    //后序遍历二叉树，记录左右孩子的状态。根据左右孩子状态更新结点自身状态
    int left = traversal(node->left, ans);
    int right = traversal(node->right, ans);

    //若左右孩子都可以被摄像头覆盖，将父亲结点状态设为0
    if(left == 2 && right == 2) {
        return 0;
    }
    //若左右孩子有一个结点状态为没有被覆盖（0），则将父亲结点状态设置为摄像头
    if(left == 0 || right == 0) {
        (*ans)++;
        return 1;
    }
    //若左右孩子有一个为摄像头，证明父亲结点可以被覆盖。将父亲结点状态变为2
    if(left == 1 || right == 1)
        return 2;
    //逻辑不会走到-1，语句不会执行
    return -1;
}

int minCameraCover(struct TreeNode* root){
    int ans = 0;

    //在对整个二叉树遍历后。头结点可能未被覆盖，这时候如果函数返回值为0，证明头结点未被覆盖。说明头结点也需要添置摄像头，ans++
    if(traversal(root, &ans) == 0)
        ans++;
    return ans;
}

Scala

object Solution {
  def minCameraCover(root: TreeNode): Int = {
    var result = 0
    def traversal(cur: TreeNode): Int = {
      // 空节点，该节点有覆盖
      if (cur == null) return 2
      var left = traversal(cur.left)
      var right = traversal(cur.right)
      // 情况1，左右节点都有覆盖
      if (left == 2 && right == 2) {
        return 0
      }
      // 情况2
      if (left == 0 || right == 0) {
        result += 1
        return 1
      }
      // 情况3
      if (left == 1 || right == 1) {
        return 2
      }
      -1
    }

    if (traversal(root) == 0) {
      result += 1
    }
    result
  }
}

Rust

/// 版本一
impl Solution {
    pub fn min_camera_cover(root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> i32 {
        let mut res = 0;
        if Self::traversal(&root, &mut res) == 0 {
            res += 1;
        }
        res
    }

    pub fn traversal(cur: &Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, ans: &mut i32) -> i32 {
        // 0 未覆盖 1 节点已设置摄像头 2 节点已覆盖
        if let Some(node) = cur {
            let node = node.borrow();

            let left = Self::traversal(&node.left, ans);
            let right = Self::traversal(&node.right, ans);

            // 左右节点都被覆盖
            if left == 2 && right == 2 {
                return 0; // 无覆盖
            }

            // left == 0 right == 0 左右无覆盖
            // left == 0 right == 1 左节点无覆盖 右节点有摄像头
            // left == 1 right == 0 左节点有摄像头 左节点无覆盖
            // left == 0 right == 2 左节点无覆盖 右节点有覆盖
            // left == 2 right == 0 左节点有覆盖 右节点无覆盖
            if left == 0 || right == 0 {
                *ans += 1;
                return 1;
            }

            // left == 1 right == 1 左节点有摄像头 右节点有摄像头
            // left == 1 right == 2 左节点有摄像头 右节点覆盖
            // left == 2 right == 1 左节点覆盖 右节点有摄像头
            if left == 1 || right == 1 {
                return 2; // 已覆盖
            }
        } else {
            return 2;
        }
        -1
    }
}

/// 版本二
enum NodeState {
    NoCover = 0,
    Camera = 1,
    Covered = 2,
}

impl Solution {
    pub fn min_camera_cover(root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> i32 {
        let mut res = 0;
        let state = Self::traversal(&root, &mut res);
        match state {
            NodeState::NoCover => res + 1,
            _ => res,
        }
    }

    pub fn traversal(cur: &Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, ans: &mut i32) -> NodeState {
        if let Some(node) = cur {
            let node = node.borrow();
            let left_state = Self::traversal(&node.left, ans);
            let right_state = Self::traversal(&node.right, ans);
            match (left_state, right_state) {
                (NodeState::NoCover, _) | (_, NodeState::NoCover) => {
                    *ans += 1;
                    NodeState::Camera
                }
                (NodeState::Camera, _) | (_, NodeState::Camera) => NodeState::Covered,
                (_, _) => NodeState::NoCover,
            }
        } else {
            NodeState::Covered
        }
    }
}