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2328. 网格图中递增路径的数目

English Version

题目描述

给你一个 m x n 的整数网格图 grid ，你可以从一个格子移动到 4 个方向相邻的任意一个格子。

请你返回在网格图中从 任意 格子出发，达到 任意 格子，且路径中的数字是 严格递增 的路径数目。由于答案可能会很大，请将结果对 109 + 7 取余 后返回。

如果两条路径中访问过的格子不是完全相同的，那么它们视为两条不同的路径。

 

示例 1：

输入：grid = [[1,1],[3,4]]
输出：8
解释：严格递增路径包括：
- 长度为 1 的路径：[1]，[1]，[3]，[4] 。
- 长度为 2 的路径：[1 -> 3]，[1 -> 4]，[3 -> 4] 。
- 长度为 3 的路径：[1 -> 3 -> 4] 。
路径数目为 4 + 3 + 1 = 8 。

示例 2：

输入：grid = [[1],[2]]
输出：3
解释：严格递增路径包括：
- 长度为 1 的路径：[1]，[2] 。
- 长度为 2 的路径：[1 -> 2] 。
路径数目为 2 + 1 = 3 。

 

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 1000
• 1 <= m * n <= 105
• 1 <= grid[i][j] <= 105

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示从网格图中的第 $i$ 行第 $j$ 列的格子出发，能够到达任意格子的严格递增路径数目。那么答案就是 $\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} dfs(i, j)$。搜索过程中，我们可以用一个二维数组 $f$ 记录已经计算过的结果，避免重复计算。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：

• 如果 $f[i][j]$ 不为 $0$，说明已经计算过，直接返回 $f[i][j]$；
• 否则，我们初始化 $f[i][j] = 1$，然后枚举 $(i, j)$ 的四个方向，如果某个方向的格子 $(x, y)$ 满足 $0 \leq x \lt m$, $0 \leq y \lt n$ 且 $grid[i][j] \lt grid[x][y]$，我们就可以从格子 $(i, j)$ 出发，到达格子 $(x, y)$，且路径上的数字是严格递增的，因此有 $f[i][j] += dfs(x, y)$。

最后，我们返回 $f[i][j]$。

答案为 $\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} dfs(i, j)$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是网格图的行数和列数。

相似题目：329. 矩阵中的最长递增路径。

Python3

class Solution:
    def countPaths(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            ans = 1
            for a, b in pairwise((-1, 0, 1, 0, -1)):
                x, y = i + a, j + b
                if 0 <= x < m and 0 <= y < n and grid[i][j] < grid[x][y]:
                    ans = (ans + dfs(x, y)) % mod
            return ans

        mod = 10**9 + 7
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        return sum(dfs(i, j) for i in range(m) for j in range(n)) % mod

Java

class Solution {
    private int[][] f;
    private int[][] grid;
    private int m;
    private int n;
    private final int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int countPaths(int[][] grid) {
        m = grid.length;
        n = grid[0].length;
        this.grid = grid;
        f = new int[m][n];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
            }
        }
        return ans;
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (f[i][j] != 0) {
            return f[i][j];
        }
        int ans = 1;
        int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
        for (int k = 0; k < 4; ++k) {
            int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
            if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
                ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
            }
        }
        return f[i][j] = ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int countPaths(vector<vector<int>>& grid) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        int f[m][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
            if (f[i][j]) {
                return f[i][j];
            }
            int ans = 1;
            int dirs[5] = {-1, 0, 1, 0, -1};
            for (int k = 0; k < 4; ++k) {
                int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
                if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
                    ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
                }
            }
            return f[i][j] = ans;
        };
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
            }
        }
        return ans;
    }
};

Go

func countPaths(grid [][]int) (ans int) {
	const mod = 1e9 + 7
	m, n := len(grid), len(grid[0])
	f := make([][]int, m)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n)
	}
	var dfs func(int, int) int
	dfs = func(i, j int) int {
		if f[i][j] != 0 {
			return f[i][j]
		}
		f[i][j] = 1
		dirs := [5]int{-1, 0, 1, 0, -1}
		for k := 0; k < 4; k++ {
			x, y := i+dirs[k], j+dirs[k+1]
			if x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y] {
				f[i][j] = (f[i][j] + dfs(x, y)) % mod
			}
		}
		return f[i][j]
	}
	for i, row := range grid {
		for j := range row {
			ans = (ans + dfs(i, j)) % mod
		}
	}
	return
}

TypeScript

function countPaths(grid: number[][]): number {
    const mod = 1e9 + 7;
    const m = grid.length;
    const n = grid[0].length;
    const f = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    const dfs = (i: number, j: number): number => {
        if (f[i][j]) {
            return f[i][j];
        }
        let ans = 1;
        const dirs: number[] = [-1, 0, 1, 0, -1];
        for (let k = 0; k < 4; ++k) {
            const x = i + dirs[k];
            const y = j + dirs[k + 1];
            if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
                ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
            }
        }
        return (f[i][j] = ans);
    };
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
        }
    }
    return ans;
}

...