第十三部分 强化学习（Reinforcement Learning）和控制（Control） 这一章我们就要学习强化学习（reinforcement learning）和适应性控制（adaptive control）了。
在监督学习（supervised learning）中，我们已经见过的一些算法，输出的标签类 $y$ 都是在训练集中已经存在的。这种情况下，对于每个输入特征 $x$ ，都有一个对应的标签作为明确的“正确答案（right answer）”。与之相反，在很多的连续判断（sequential decisions making）和控制（control）的问题中，很难提供这样的明确的显示监督（explicit supervision）给学习算法。例如，假设咱们制作了一个四条腿的机器人，然后要编程让它能走路，而我们并不知道怎么去采取“正确”的动作来进行四条腿的行走，所以就不能给他提供一个明确的监督学习算法来进行模仿。
在强化学习（reinforcement learning）的框架下，我们就并不提供监督学习中那种具体的动作方法，而是只给出一个奖励函数（reward function），这个函数会告知学习程序（learning agent） 什么时候的动作是好的，什么时候的是不好的。在四腿机器人这个样例中，奖励函数会在机器人有进步的时候给出正面回馈，即奖励，而有退步或者摔倒的时候给出负面回馈，可以理解成惩罚。接下来随着时间的推移，学习算法就会解决如何选择正确动作以得到最大奖励。
强化学习（Reinforcement learning，下文中缩写为 RL）已经成功用于多种场景了，例如无人直升机的自主飞行，机器人用腿来运动，手机的网络选择，市场营销策略筛选，工厂控制，高效率的网页索引等等。我们对强化学习的探索，要先从马尔可夫决策过程（Markov decision processes，缩写为 MDP） 开始，这个概念给出了强化学习问题的常见形式。
1 马尔可夫决策过程（Markov decision processes） 一个马尔可夫决策过程（Markov decision process）由一个元组（tuple） $(S, A, {P_{sa}}, \gamma, R)$ 组成，其中元素分别为：
$S$ 是一个状态 集合（a set of states）。（例如，在无人直升机飞行的案例中，$S$ 就可以是直升机所有的位置和方向的集合。）
$A$ 是一个动作 集合（a set of actions）。（例如，还以无人直升机为例，$A$ 就可以是遥控器上面能够操作的所有动作方向。）
$P_{sa}$ 为状态转移概率（state transition probabilities）。对于每个状态 $s \in S$ 和动作 $a \in A$ ， $P_{sa}$ 是在状态空间上的一个分布（a distribution over the state space）。后面会再详细讲解，不过简单来说， $P_{sa}$ 给出的是在状态 $s$ 下进行一个动作 $a$ 而要转移到的状态的分布。
$\gamma \in [0, 1)$ 叫做折扣因子（discount factor）。
$R : S × A → R$ 就是奖励函数（reward function）。 （奖励函数也可以写成仅对状态 $S$ 的函数，这样就可以写成 $R : S → R$ 。）
马尔可夫决策过程（MDP）的动力学（dynamics）过程如下所示：于某个起始状态 $s_0$ 启动，然后选择某个动作 $a_0 \in A$ 来执行 MDP 过程。根据所选的动作会有对应的结果，MDP 的状态则转移到某个后继状态（successor state），表示为 $s_1$ ，根据 $s_1 \sim P_{s_0a_0}$ 得到。然后再选择另外一个动作 $a_1$ ，接下来又有对应这个动作的状态转移，状态则为 $s_2 \sim P_{s_1a_1}$ 。接下来再选择一个动作 $a_2$ ，就这样进行下去。如果将这个过程绘制出来的话，结果如下所示：
$$
s_0\xrightarrow{a_0}s_1\xrightarrow{a_1}s_2\xrightarrow{a_2}s_3\xrightarrow{a_3}\dots
$$
通过序列中的所有状态 $s_0, s_1, \dots$ 和对应的动作 $a_0, a_1,\dots$ ，你就能得到总奖励值，即总收益函数（total payoff）为
$$
R(s_0,a_0) + \gamma R(s_1,a_1) + \gamma^2 R(s_2,a_2) + \dots
$$
如果把奖励函数作为仅与状态相关的函数，那么这个值就简化成了
$$
R(s_0) + \gamma R(s_1) + \gamma^2 R(s_2) + \dots
$$
多数情况下，我们都用后面这种仅为状态的函数$R(s)$这种形式，虽然扩展到对应状态-动作两个变量的函数 $R(s,a)$ 也并不难。
强化学习的目标就是找到的一组动作，能使得总收益函数（total payoff）的期望值最大：
$$
E[R(s_0) + \gamma R(s_1) + \gamma^2 R(s_2) + \dots]
$$
注意，在时间步长（timestep） $t$ 上的奖励函数（reward）通过一个参数（factor）$\gamma^t$ 而进行了缩减（discounted）。 因此，要使得期望最大化，就需要尽可能早积累符号为正的奖励（positive rewards），而尽量推迟负面奖励（negative rewards，即惩罚）的出现。在经济方面的应用中，其中的 $R(·)$ 就是盈利金额（amount of money made），$\gamma$ 也可以理解为利润率（interest rate）的表征，这样有自然的解释（natural interpretation），例如今天的一美元就比明天的一美元有更多价值。
有一种策略（policy）， 是使用任意函数 $\pi : S → A$ ，从状态（states）到动作（actions）进行映射（mapping）。如果在状态 $s$ ，采取动作 $a = \pi(s)$ ，就可以说正在执行（executing） 某种策略（policy） $\pi$ 。然后还可以针对策略函数（policy）$\pi$ 来定义一个值函数（value function）：
$$
V^\pi(s)=E[R(s_0) + \gamma R(s_1) + \gamma^2 R(s_2) + \dots | s_0=s,\pi]
$$
$V^\pi(s)$ 就是从状态 $s$ 开始，根据 $\pi^1$ 给出的动作来积累的部分奖励函数（discounted rewards）的期望总和（expected sum）。
1 实际上这里我们用 $\pi$ 这个记号来表示，严格来说不太正确，因为 $\pi$ 并不是一个随机变量，不过在文献里面这样表示很多，已经成了某种事实上的标准了。
给定一个固定的策略函数（policy） $\pi$ ，则对应的值函数 $V^\pi$ 满足贝尔曼等式（Bellman equations）：
$$
V^\pi(s)=R(s)+\gamma \sum_{s'\in S}P_{s\pi(s)}(s')V^\pi(s')
$$
这也就意味着，从状态 $s$ 开始的这个部分奖励（discounted rewards）的期望总和（expected sum） $V^\pi(s)$ 由两部分组成：首先是在状态 $s$ 时候当时立即获得的奖励函数值 $R(s)$ ，也就是上面式子的第一项；另一个就是第二项，即后续的部分奖励函数值（discounted rewards）的期望总和（expected sum）。对第二项进行更深入的探索，就能发现这个求和项（summation term）可以写成 $E_{s'\sim P_{s\pi(s)}} [V^\pi(s')]$ 的形式。这种形式也就是从状态 $s'$ 开始的这个部分奖励（discounted rewards）的期望总和（expected sum） $V^\pi(s')$ ，此处的 $s'$ 是根据 $P_{s\pi(s)}$ 分布的，在 MDP 过程中从状态 $s$ 采取第一个动作 $\pi(s)$ 之后，确定了这个分布所在的空间。因此，上面的第二项实际上也就是给出了在 MDP 过程中第一步之后的部分奖励（discounted rewards）的期望总和（expected sum）。
贝尔曼等式（Bellman’s equations）可以有效地解出 $V^\pi$ 。尤其是在一个有限状态的 MDP 过程中，即 $(|S| < \infty)$ ，我们可以把每个状态 $s$ 对应的 $V^\pi (s)$ 的方程写出来。这样就得到了一系列的 $|S |$ 个线性方程，有 $|S |$ 个变量（也就是对应每个状态的未知的 $V^\pi(s)$ ），这些 $V^\pi(s)$ 都很容易解出来。
然后可以定义出最优值函数（optimal value function）
$$
V^*(s)=\max_\pi V^\pi(s)\qquad(1)
$$
换一种说法，这个值也就是能用任意一种策略函数（policy）来获得的，最佳的可能部分奖励（discounted rewards）的期望总和（expected sum）。另外对于最优值函数（optimal value function），也有一个版本的贝尔曼等式（Bellman’s equations）：
$$
V^(s)=R(s)+\max_{a\in A}\gamma\sum_{s'\in S}P_{sa}(s')V^ (s')\qquad(2)
$$
上面这个等式中的第一项，还是跟之前一样的，还是即时奖励函数值。第二项是在采取了动作 $a$ 之后的所有动作 $a$ 的部分奖励（discounted rewards）的未来期望总和（expected future sum）的最大值。要确保理解这个等式，并且要明白为什么这个等式有意义。
译者注：抱歉，这里的这个 discounted rewards 弄得我不知道怎么翻译才顺，意思表达得很狗，非常抱歉。
另外还定义了一个策略函数（policy） $\pi^* : S → A$ ，如下所示
$$
\pi^(s)=arg\max_{a\in A}\sum_{s'\in S}P_{sa}(s')V^ (s')\qquad(3)
$$
注意，这里的 $\pi^*(s)$ 给出的动作 $a$ 实现了上面等式$(2)$当中能够使 “max” 项取到最大值。
事实上，对于每个状态 $s$ 和每个策略函数（policy）$\pi$，我们都可以得出：
$$
V^(s)=V^{\pi^ }(s)\ge V^\pi(s)
$$
上面的第一个等式关系表明，在任何状态 $s$ 下，对应策略函数（policy） $V^{\pi^}$的值函数（value function）$\pi^ $ 等于最优值函数 $V^$。右边的不等式则表明，$\pi^ $ 的值至少也等于任意其他策略函数的值。也就是说，上面在等式$(3)$当中定义的这个 $\pi^*$ 就是最佳策略函数（optimal policy）。
注意，这个 $\pi^$ 有一个有趣的特性，它是所有状态 $s$ 下的最佳策略。具体来讲，并不是说只是从某些状态 $s$ 开始的MDP过程才使得这个$\pi^ $是对应这些状态的最佳策略，而如果从某些别的状态 $s'$ 开始就有其他的最佳策略。而是对于所有的状态 $s$ ，都是同样的一个策略函数 $\pi^$ 能够使得等式$(1)$中的项目取得最大值。这也就意味着无论 MDP 过程的初始状态（initial state）如何，都可以使用同样的策略函数 $\pi^ $。
2 值迭代（Value iteration）和策略迭代（policy iteration） 现在我们要讲两种算法，都能很有效地解决有限状态的马尔可夫决策过程问题（finite-state MDPs）。目前为止，我们只考虑有限状态和动作空间的马尔可夫决策过程，也就是状态和动作的个数都是有限的，即$|S| < \infty, |A| < \infty$。
第一种算法，值迭代（value iteration）， 过程如下所述：
对每个状态 $s$ , 初始化 $V (s) := 0$ .
重复直到收敛 {
对每个状态，更新规则$V(s):=R(s)+\max_{a\in A}\gamma\sum_{s'}P_{sa}(s')V(s')$
}
这个算法可以理解成，利用贝尔曼等式（Bellman Equations）$(2)$重复更新估计值函数（estimated value function）。
在上面的算法的内部循环体中，有两种进行更新的方法。首先，我们可以为每一个状态 $s$ 计算新的值 $V(s)$ ，然后用新的值覆盖掉所有的旧值。这也叫做同步更新（synchronous update）。 在这种情况下，此算法可以看做是实现（implementing）了一个“贝尔曼备份运算符（Bellman backup operator）”，这个运算符接收值函数（value function）的当前估计（current estimate），然后映射到一个新的估计值（estimate）。（更多细节参考作业题目中的内容。）另外一种方法，即我们可以使用异步更新（asynchronous updates）。 使用这种方法，就可以按照某种次序来遍历（loop over）所有的状态，然后每次更新其中一个的值。
无论是同步还是异步的更新，都能发现最终值迭代（value iteration）会使 $V$ 收敛到 $V^$ 。找到了 $V^ $ 之后，就可以利用等式$(3)$来找到最佳策略（optimal policy）。
除了值迭代（value iteration）之外，还有另外一种标准算法可以用来在马尔可夫决策过程（MDP）中寻找一个最佳策略（optimal policy）。这个策略迭代（policy iteration） 算法如下所述：
随机初始化 $\pi$ 。
重复直到收敛{
$(a)$ 令 $V := V^\pi$ .
$(b)$ 对每个状态 $s$ ，令 $\pi(s):=arg\max_{a\in A}\sum_{s'}P_{sa}(s')V(s')$
}
因此，在循环体内部就重复计算对于当前策略（current policy）的值函数（value function），然后使用当前的值函数（value function）来更新策略函数（policy）。（在步骤 $(b)$ 中找到的策略 $\pi$ 也被称为对应 $V$ 的贪心策略(greedy with respect to V) ）注意，步骤 $(a)$ 可以通过解贝尔曼等式（Bellman’s equation）来实现，之前已经说过了，在固定策略（fixed policy）的情况下，这个等式只是一系列有 $|S|$ 个变量（variables）的 $|S|$ 个线性方程（linear equations）。
在上面的算法迭代了某个最大迭代次数之后，$V$ 将会收敛到 $V^$，而 $\pi$ 会收敛到 $\pi^ $。
值迭代（value iteration）和策略迭代（policy iteration）都是解决马尔可夫决策过程（MDPs）问题的标准算法， 而且目前对于这两个算法哪个更好，还没有一个统一的一致意见。对小规模的 MDPs 来说，策略迭代（policy iteration）通常非常快，迭代很少的次数就能瘦脸。然而，对有大规模状态空间的 MDPs，确切求解 $V^\pi$ 就要涉及到求解一个非常大的线性方程组系统，可能非常困难。对于这种问题，就可以更倾向于选择值迭代（value iteration）。因此，在实际使用中，值迭代（value iteration）通常比策略迭代（policy iteration）更加常用。
3 学习一个马尔可夫决策过程模型（Learning a model for an MDP） 目前为止，我们已经讲了 MDPs，以及用于 MDPs 的一些算法，这都是基于一个假设，即状态转移概率（state transition probabilities）以及奖励函数（rewards）都是已知的。在很多现实问题中，却未必知道这两样，而是必须从数据中对其进行估计。（通常 $S，A 和 \gamma$ 都是知道的。）
例如，加入对倒立摆问题（inverted pendulum problem，参考习题集 $4$ ），在 MDP 中进行了一系列的试验，过程如下所示：
$$
\begin{aligned}
&s_0^{(1)}\xrightarrow{a_0^{(1)}}s_1^{(1)}\xrightarrow{a_1^{(1)}}s_2^{(1)}\xrightarrow{a_2^{(1)}}s_3^{(1)}\xrightarrow{a_3^{(1)}}\dots \\
&s_0^{(2)}\xrightarrow{a_0^{(2)}}s_1^{(2)}\xrightarrow{a_1^{(2)}}s_2^{(2)}\xrightarrow{a_2^{(2)}}s_3^{(2)}\xrightarrow{a_3^{(2)}}\dots \\
&\cdots
\end{aligned}
$$
其中 $s_i^{(j)}$ 表示的是第 $j$ 次试验中第 $i$ 次的状态，而 $a_i^{(j)}$ 是该状态下的对应动作。在实践中，每个试验都会运行到 MDP 过程停止（例如在倒立摆问题（inverted pendulum problem）中杆落下（pole falls）），或者会运行到某个很大但有限的一个数的时间步长（timesteps）。
有了在 MDP 中一系列试验得到的“经验”，就可以对状态转移概率（state transition probabilities）推导出最大似然估计（maximum likelihood estimates）了：
$$
P_{sa}(s')= \frac{在状态 s 执行动作 a 而到达状态 s' 的次数}{在状态 s 执行动作 a 的次数}\qquad(4)
$$
或者，如果上面这个比例出现了$“0/0”$的情况，对应的情况就是在状态 $s$ 之前没进行过任何动作 $a$ ，这样就可以简单估计 $P_{sa}(s')$ 为 $1/|S|$ 。（也就是说把 $P_{sa}$ 估计为在所有状态上的均匀分布（uniform distribution）。）
注意，如果在 MDP 过程中我们能获得更多经验信息（观察更多次数），就能利用新经验来更新估计的状态转移概率（estimated state transition probabilities），这样很有效率。具体来说，如果我们保存下来等式$(4)$中的分子（numerator）和分母（denominator）的计数（counts），那么观察到更多的试验的时候，就可以很简单地累积（accumulating）这些计数数值。计算这些数值的比例，就能够给出对 $P_{sa}$ 的估计。
利用类似的程序（procedure），如果奖励函数（reward） $R$ 未知，我们也可以选择在状态 $s$ 下的期望即时奖励函数（expected immediate reward） $R(s)$ 来当做是在状态 $s$ 观测到的平均奖励函数（average reward）。
学习了一个 MDP 模型之后，我们可以使用值迭代（value iteration）或者策略迭代（policy iteration），利用估计的状态转移概率（transition probabilities）和奖励函数，来去求解这个 MDP 问题。例如，结合模型学习（model learning）和值迭代（value iteration），就可以在未知状态转移概率（state transition probabilities）的情况下对 MDP 进行学习，下面就是一种可行的算法：
随机初始化 $\pi$ 。
重复 {
$(a)$ 在 MDP 中执行 $\pi$ 作为若干次试验（trials）。
$(b)$ 利用上面在 MDP 积累的经验（accumulated experience），更新对 $P_{sa}$ 的估计（如果可以的话也对奖励函数 $R$ 进行更新）。
$(c)$ 利用估计的状态转移概率（estimated state transition probabilities）和奖励函数
（rewards），应用值迭代（value iteration），得到一个新的估计值函数（estimated value function） $V$ 。
$(d)$ 更新 $\pi$ 为与 $V$ 对应的贪婪策略（greedy policy）。
}
我们注意到，对于这个特定的算法，有一种简单的优化方法（optimization），可以让该算法运行得更快。具体来说，在上面算法的内部循环中，使用了值迭代（value iteration），如果初始化迭代的时候不令 $V = 0$ 启动，而是使用算法中上一次迭代找到的解来初始化，这样就有了一个更好的迭代起点，能让算法更快收敛。
4 连续状态的马尔可夫决策过程（Continuous state MDPs） 目前为止，我们关注的都是有限个状态（a finite number of states）的马尔可夫决策过程（MDPs）。接下来我们要讲的就是有无限个状态（an infinite number of states）的情况下的算法。例如，对于一辆车，我们可以将其状态表示为 $(x, y, \theta, \dot x,\dot y,\dot\theta)$ ，其中包括位置（position） $(x, y)$ ，方向（orientation）$\theta$， 在 $x$ 和 $y$ 方向的速度分量 $\dot x$ 和 $\dot y$ ，以及角速度（angular velocity）$\dot\theta$。这样，$S = R^6$ 就是一个无限的状态集合，因为一辆车的位置和方向的个数是有无限可能$^2$。与此相似，在习题集 $4$ 中看到的倒立摆问题（inverted pendulum）中，状态也有$(x,\theta,\dot x,\dot\theta)$，其中的 $\theta$ 是杆的角度。在直升机飞行的三维空间中，状态的形式则为$(x,y,x,\phi,\theta,\psi,\dot x,\dot y,\dot z,\dot\phi,\dot\theta,\dot\psi)$，其中包含了滚动角（roll）$\phi$，俯仰角（pitch）$\theta$，以及偏航角（yaw）$\psi$，这几个角度确定了直升机在三维空间中的运动方向。在本节中，我们考虑状态空间为 $S = R^n$ 的情况，并描述此种情况下解决 MDPs 的方法。
2 从理论上讲，$\theta$ 是一个方向（orientation），所以更应当把 $\theta$ 的取值空间写为 $\theta \in [\pi, \pi)$ ，而不是写为实数集合 $\theta \in R$ ；不过在我们讨论的问题中，这种区别不要紧。
解决连续状态 MDP 问题最简单的方法可能就是将状态空间（state space）离散化（discretize），然后再使用之前讲过的算法，比如值迭代（value iteration）或者策略迭代（policy iteration）来求解。
例如，假设我们有一个二维状态空间$(s_1,s_2)$，就可以用下面的网格（grid）来将这个状态空间离散化：
如上图所示，每个网格单元（grid cell）表示的都是一个独立的离散状态 $\overline s$ 。这样就可以把一个连续状态 MDP 用一个离散状态的 $(\overline S, A, {P_{\overline sa}}, \gamma, R)$ 来进行逼近，其中的$\overline S$ 是离散状态集合，而${P_{\overline sa}}$ 是此离散状态上的状态转移概率（state transition probabilities），其他项目同理。然后就可以使用值迭代（value iteration）或者策略迭代（policy iteration）来求解出离散状态的 MDP $(\overline S, A, {P_{\overline sa}}, \gamma, R)$ 的 $V^(\overline s)$ 和 $\pi^ (\overline s)$。当真实系统是某种连续值的状态 $s \in S$ ，而有需要选择某个动作来执行，就可以计算对应的离散化的状态 $\overline s$ ，然后执行对应的动作 $\pi^*(\overline s)$ 。
这种离散化方法（discretization approach）可以解决很多问题。然而，也有两个缺陷（downsides）。首先，这种方法使用了对 $V^$ 和 $\pi^ $ 相当粗糙的表征方法。具体来说，这种方法中假设了在每个离散间隔（discretization intervals）中的值函数（value function）都是一个常数值（也就是说，值函数是在每个网格单元中分段的常数。）。
要更好理解这样表征的的局限性，可以考虑对下面这一数据集进行函数拟合的监督学习问题：
很明显，上面这个数据适合使用线性回归。然而，如果我们对 $x$ 轴进行离散化，那么在每个离散间隔中使用分段常数表示，对同样的数据进行拟合，得到的曲线则如下所示：
这种分段常数表示，对于很多的光滑函数，都不能算好。这会导致输入值缺乏平滑（little smoothing over the inputs），而且在不同的望各单元中间也没有进行扩展（generalization）。使用这种表示方法，我们还需要一种非常精细的离散化过程（也就是网格单元要非常小），才能得到一个比较好的近似估计。
第二个缺陷可以称之为维度的诅咒（curse of dimensionality）。 设 $S = R^n$ ，然后我们队每个 $n$ 维度状态离散成 $k$ 个值。这样总共的离散状态的个数就是 kn。在状态空间 $n$ 的维度中，这个值会呈指数级增长，对于大规模问题就不好缩放了。例如，对于一个 $10$ 维的状态，如果我们把每个状态变量离散化成为 $100$ 个值，那么就会有 $100^{10} = 10^{20}$ 个离散状态，这个维度太大了，远远超过了当前桌面电脑能应付的能力之外。
根据经验法则（rule of thumb），离散化通常非常适合用于 $1$ 维和 $2$ 维的问题（而且有着简单和易于快速实现的优势）。对于 $4$ 维状态的问题，如果使用一点小聪明，仔细挑选离散化方法，有时候效果也不错。如果你超级聪明，并且还得有点幸运，甚至也有可能将离散化方法使用于 $6$ 维问题。不过在更高维度的问题中，就更是极其难以使用这种方法了。
4.2 值函数近似（Value function approximation） 现在我们来讲另外一种方法，能用于在连续状态的 MDPs 问题中找出策略，这种方法也就是直接对进行近似 $V^*$ ，而不使用离散化。这个方法就叫做值函数近似（value function approximation），在很多强化学习的问题中都有成功的应用。
4.2.1 使用一个模型或模拟器（Using a model or simulator） 要开发一个值函数近似算法，我们要假设已经有一个对于 MDP 的模型， 或者模拟器。 简单来看，一个模拟器就是一个黑箱子（black-box），接收输入的任意（连续值的）状态 $s_t$ 和动作 $a_t$ ，然后输出下一个状态 $s_{t+1}$ ，这个新状态是根据状态转移概率（state transition probabilities） $P_{s_ta_t}$ 取样（sampled）得来：
有很多种方法来获取这样的一个模型。其中一个方法就是使用物理模拟（physics simulation）。 例如，在习题集 $4$ 中倒立摆模拟器，就是使用物理定律，给定当前时间 $t$ 和采取的动作 $a$ ，假设制导系统的所有参数，比如杆的长度、质量等等，来模拟计算在 $t+1$ 时刻杆所处的位置和方向。另外也可以使用现成的物理模拟软件包，这些软件包将一个机械系统的完整物理描述作为输入，当前状态 $s_t$ 和动作 $a_t$ ，然后计算出未来几分之一秒的系统状态 $s_{t+1}$ 。$^3$
3 开放动力引擎（Open Dynamics Engine，http://www.ode.com）就是一个开源物理模拟器，可以用来模拟例如倒立摆这样的系统，在强化学习研究领域中，已经相当流行了。
另外一个获取模型的方法，就是从 MDP 中收集的数据来学习生成一个。例如，加入我们在一个 MDP 过程中重复进行了 $m$ 次试验（trials）， 每一次试验的时间步长（time steps）为 $T$ 。这可以用如下方式实现，首先是随机选择动作，然后执行某些特定策略（specific policy），或者也可以用其他方法选择动作。接下来就能够观测到 $m$ 个状态序列，如下所示：
$$
\begin{aligned}
&s_0^{(1)}\xrightarrow{a_0^{(1)}}s_1^{(1)}\xrightarrow{a_1^{(1)}}s_2^{(1)}\xrightarrow{a_2^{(1)}}\dots\xrightarrow{a_{T-1}^{(1)}}s_T^{(1)} \\
&s_0^{(2)}\xrightarrow{a_0^{(2)}}s_1^{(2)}\xrightarrow{a_1^{(2)}}s_2^{(2)}\xrightarrow{a_2^{(2)}}\dots\xrightarrow{a_{T-1}^{(2)}}s_T^{(2)} \\
&\cdots \\
&s_0^{(m)}\xrightarrow{a_0^{(m)}}s_1^{(m)}\xrightarrow{a_1^{(m)}}s_2^{(m)}\xrightarrow{a_2^{(m)}}\dots\xrightarrow{a_{T-1}^{(m)}}s_T^{(m)}
\end{aligned}
$$
然后就可以使用学习算法，作为一个关于 $s_t$ 和 $a_t$ 的函数来预测 $s_{t+1}$ 。
例如，对于线性模型的学习，可以选择下面的形式：
$$
s_{t+1}=As_t+Ba_t\qquad(5)
$$
然后使用类似线性回归（linear regression）之类的算法。上面的式子中，模型的参数是两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，然后可以使用在 $m$ 次试验中收集的数据来进行估计，选择：
$$
arg\min_{A,B}\sum_{i=1}^m\sum_{t=0}^{T-1}||s_{t+1}^{(i)}-(As_t^{(i)}+Ba_t^{(i)})||^2
$$
（这对应着对参数（parameters）的最大似然估计（maximum likelihood estimate）。）
通过学习得到 $A$ 和 $B$ 之后，一种选择就是构建一个确定性 模型（deterministic model），在此模型中，给定一个输入 $s_t$ 和 $a_t$ ，输出的则是固定的 $s_{t+1}$ 。具体来说，也就是根据上面的等式$(5)$来计算 $s_{t+1}$ 。或者用另外一种办法，就是建立一个随机 模型（stochastic model），在这个模型中，输出的 $s_{t+1}$ 是关于输入值的一个随机函数，以如下方式建模：
$$
s_{t+1}=As_t+Ba_t+\epsilon_t
$$
上面式子中的 $\epsilon_t$ 是噪音项（noise term），通常使用一个正态分布来建模，即 $\epsilon_t\sim N (0, \Sigma)$ 。（协方差矩阵（covariance matrix） $\Sigma$ 也可以从数据中直接估计出来。）
这里，我们把下一个状态 $s_{t+1}$ 写成了当前状态和动作的一个线性函数；不过当然也有非线性函数的可能。比如我们学习一个模型 $s_{t+1} = A\phi_s(s_t) + B\phi_a(a_t)$ ，其中的 $\phi_s$ 和 $\phi_a$ 就可以使某些映射了状态和动作的非线性特征。另外，我们也可以使用非线性的学习算法，例如局部加权线性回归（locally weighted linear regression）进行学习，来将 $s_{t+1}$ 作为关于 $s_t$ 和 $a_t$ 的函数进行估计。 这些方法也可以用于建立确定性的（deterministic）或者随机的（stochastic）MDP 模拟器。
4.2.2 拟合值迭代（Fitted value iteration） 接下来我们要讲的是拟合值迭代算法（fitted value iteration algorithm）， 作为对一个连续状态 MDP 中值函数的近似。在这部分钟，我们假设学习问题有一个连续的状态空间 $S = R^n$ ，而动作空间 $A$ 则是小规模的离散空间。$^4$
4 在实践中，大多数的 MDPs 问题中，动作空间都要远远比状态空间小得多。例如，一辆汽车可能有 $6$ 维的状态空间，但是动作空间则只有 $2$ 维，即转向和速度控制；倒立的摆有 $4$ 维状态空间，而只有 $1$ 维的动作空间；一架直升机有 $12$ 维状态空间，只有 $4$ 维的动作空间。所以对动作空间进行离散化，相比对状态空间进行离散化，遇到的问题通常会少得多。
回忆一下值迭代（value iteration），其中我们使用的更新规则如下所示：
$$
\begin{aligned}
V(s) &:= R(s)+\gamma\max_a \int_{s'}P_{sa}(s')V(s')ds' \qquad&(6)\\
&= R(s)+\gamma\max_a E_{s'\sim P_{sa}}[V(s')]\qquad&(7)
\end{aligned}
$$
（在第二节当中，我们把值迭代的更新规则写成了求和（summation）的形式：$V(s) := R(s)+\gamma\max_a\sum_{s'}P_{sa}(s')V(s')$而没有像刚刚上面这样写成在状态上进行积分的形式；这里采用积分的形式来写，是为了表达我们现在面对的是连续状态的情况，而不再是离散状态。）
拟合值迭代（fitted value iteration）的主要思想就是，在一个有限的状态样本 $s^{(1)}, ... s^{(m)}$ 上，近似执行这一步骤。具体来说，要用一种监督学习算法（supervised learning algorithm），比如下面选择的就是线性回归算法（linear regression），以此来对值函数（value function）进行近似，这个值函数可以使关于状态的线性或者非线性函数：
$$
V(s)=\theta^T\phi(s)
$$
上面的式子中，$\phi$ 是对状态的某种适当特征映射（appropriate feature mapping）。对于有限个 $m$ 状态的样本中的每一个状态 $s$ ，拟合值迭代算法将要首先计算一个量 $y^{(i)}$ ，这个量可以用 $R(s)+\gamma\max_aE_{s'\sim P_{sa}}[V(s')]$ 来近似（根据等式$(7)$的右侧部分）。然后使用一个监督学习算法，通过逼近 $R(s) + \gamma\max_a E_{s'\sim P_{sa}}[V (s')]$ 来得到$V(s)$（或者也可以说是通过逼近到 $y^{(i)}$ 来获取 $V(s)$ ）。
具体来说，算法如下所示：
从 $S$ 中随机取样 $m$ 个状态 $s^{(1)}, s^{(2)}, . . . s^{(m)}\in S$ 。
初始化 $\theta := 0$ .
重复 {
对 $i = 1, ... , m$ {
对每一个动作 $a \in A$ {
取样 $s_1',... , s_k'\sim P_{s^{(i)}a}$ (使用一个 MDP 模型)
设$q(a)=\frac 1k\sum_{j=1}^kR(s^{(i)})+\gamma V(s_j')$
// 因此， $q(a)$ 是对$R(s)^{(i)}+\gamma E_{s'\sim P_{sa}}[V(s')]$的估计。
}
设$y^{(i)} = \max_a q(a)$.
// 因此， $y^{(i)}$ 是对$R(s^{(i)})+\gamma\max_aE_{s'\sim P_{sa}}[V(s')]$的估计。
}
// 在原始的值迭代算法（original value iteration algorithm）中，（离散状态的情况 ）
// 是根据 $V(s^{(i)}) := y^{(i)}$ 来对值函数（value function）进行更新。
// 而在这里的这个算法中，我们需要的让二者近似相等，即 $V(s^{(i)}) \approx y^{(i)}$ ，
// 这可以通过使用监督学习算法（线性回归）来实现。
设 $\theta := arg\min_\theta \frac 12\sum_{i=1}^m(\theta^T\phi(s^{(i)})-y^{(i)})^2$
}
以上，我们就写出了一个拟合值迭代算法（fitted value iteration），其中使用线性回归作为算法（linear regression），使 $V (s^{(i)})$ 逼近 $y^{(i)}$ 。这个步骤完全类似在标准监督学习问题（回归问题）中面对 $m$ 个训练集 $(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})$ ，而要利用学习得到从$x$ 到 $y$ 的映射函数的情况；唯一区别无非是这里的 $s$ 扮演了当时 $x$ 的角色。虽然我们上面描述的算法是线性回归，很显然其他的回归算法（例如局部加权线性回归）也都可以使用。
与离散状态集合上进行的的值迭代（value iteration）不同，拟合值迭代（fitted value iteration）并不一定总会收敛（converge）。然而，在实践中，通常都还是能收敛的（或者近似收敛），而且能解决大多数问题。另外还要注意，如果我们使用一个 MDP 的确定性模拟器/模型的话，就可以对拟合值迭代进行简化，设置算法中的 $k = 1$ 。这是因为等式$(7)$当中的期望值成为了对确定性分布（deterministic distribution）的期望，所以一个简单样本（single example）就足够计算该期望了。否则的话，在上面的算法中，就还要取样出 $k$ 个样本，然后取平均值，来作为对期望值的近似（参考在算法伪代码中的 $q(a)$ 的定义）。
最后，拟合值迭代输出的 $V$ ，也就是对 $V^*$ 的一个近似。这同时隐含着对策略函数（policy）的定义。 具体来说，当我们的系统处于某个状态 $s$ 的时候，需要选择一个动作，我们可能会选择的动作为：
$$
arg\max_a E_{s'\sim P_{sa}}[V(s')]\qquad(8)
$$
这个计算/近似的过程很类似拟合值迭代算法的内部循环体，其中对于每一个动作，我们取样 $s_1',...,s_k'\sim P_{sa}$ 来获得近似期望值（expectation）。（当然，如果模拟器是确定性的，就可以设 $k = 1$ 。）
在实际中，通常也有其他方法来实现近似这个步骤。例如，一种很常用的情况就是如果模拟器的形式为 $s_{t+1} = f(s_t,a_t) + \epsilon_t$ ，其中的 $f$ 是某种关于状态 $s$ 的确定性函数（例如 $f(s_t,a_t) = As_t + Ba_t$ ），而 $\epsilon$ 是均值为 $0$ 的高斯分布的噪音。在这种情况下，可以通过下面的方法来挑选动作：
$$
arg\max_a V(f(s,a))
$$
也就是说，这里只是设置 $\epsilon_t = 0$ （即忽略了模拟器中的噪音项），然后设 $k = 1$ 。同样地，这也可以通过在等式$(8)$中使用下面的近似而推出：
$$
\begin{aligned}
E_{s'}[V(s')] &\approx V(E_{s'}[s']) &(9) \\
&= V(f(s,a)) &(10)
\end{aligned}
$$
这里的期望是关于随机分布 $s'\sim P_{sa}$ 的。所以只要噪音项目 $\epsilon_t$ 很小，这样的近似通常也是合理的。
然而，对于那些不适用于这些近似的问题，就必须使用模型，取样 $k|A|$ 个状态，以便对上面的期望值进行近似，当然这在计算上的开销就很大了。
