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exercise-sheet-5.Rmd

@@ -196,15 +196,24 @@ zusammen.
 
 
 Unser Ziel ist es nun, das Pendel aus seiner herabhängenden Ruhelage $x_0 = \begin{bmatrix} \pi & 0 \end{bmatrix}^T$ zum Zeitpunkt $k = 0$ in die aufrechte stehende Position $x_N = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}^T$ zum Zeitpunkt $k = N$ zu schwingen.
-Dabei wollen wir den Steuerungsaufwand $ L(U) := \sum_{k=0}^{N-1} u_k^2 $ minimieren.
+Dabei wollen wir den Steuerungsaufwand $L(U) := \sum_{k=0}^{N-1} u_k^2$ minimieren.
 
 **Aufgaben:**
 
-1. Formulieren Sie unser Optimalsteuerungsproblem als nichtlineares Programm. Dabei sollen $ x_0, \ldots, x_N $ und $ u_0, \ldots, u_{N-1} $ die Entscheidungsvariablen sein. Die Nebenbedingungen sind die Dynamik, sowie die Start- und Zielposition.
+1. Formulieren Sie unser Optimalsteuerungsproblem als nichtlineares Programm. Dabei sollen $x_0, \ldots, x_N$ und $u_0, \ldots, u_{N-1}$ die Entscheidungsvariablen sein.
+Die Nebenbedingungen sind die Dynamik, sowie die Start- und Zielposition.
 2. Diskutieren Sie kurz, ob das Problem konvex ist.
-3. Benutzen Sie das bereitgestellte Template, um das NLP mit CasADi und IPOPT zu lösen. Erstellen Sie Plots der optimalen Trajektorien von $ \theta $, $ \omega $ und $ u $, mit der diskreten Zeit $ k $ auf der $ x $-Achse. Sie können Ihre Lösung außerdem mit der bereitgestellten Animation (pendulum.gif) vergleichen.
-4. Wir führen nun eine zusätzliche Beschränkung der Steuerung ein. Zu allen Zeitpunkten soll gelten: $ |u_k| \leq u_{\text{max}} $. Diskutieren Sie kurz, wie sich der optimale Wert der Zielfunktion dadurch verändert.
-5. Erweitern Sie Ihre NLP Formulierung um die zusätzliche Beschränkung. Beachten Sie, dass Sie hierbei die Betragsfunktion $ | \cdot | $ nicht verwenden sollten, da diese an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist. Dies kann zu Problemen führen. Finden Sie stattdessen eine Umformulierung dieser Nebenbedingung.
-6. Erweitern Sie Ihre Implementierung um die zusätzliche Nebenbedingung. Verwenden Sie $ u_{\text{max}} = 0.13 $.
+3. Benutzen Sie das bereitgestellte Template, um das NLP mit CasADi und IPOPT zu lösen.
+Erstellen Sie Plots der optimalen Trajektorien von $\theta$, $\omega$ und $u$, mit der diskreten Zeit $k$ auf der $x$-Achse.
+Sie können Ihre Lösung außerdem mit der bereitgestellten Animation (`pendulum.gif`) vergleichen.
+4. Wir führen nun eine zusätzliche Beschränkung der Steuerung ein.
+Zu allen Zeitpunkten soll gelten: $|u_k| \leq u_{\text{max}}$.
+Diskutieren Sie kurz, wie sich der optimale Wert der Zielfunktion dadurch verändert.
+5. Erweitern Sie Ihre NLP Formulierung um die zusätzliche Beschränkung.
+Beachten Sie, dass Sie hierbei die Betragsfunktion $| \cdot |$ nicht verwenden sollten, da diese an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.
+Dies kann zu Problemen führen.
+Finden Sie stattdessen eine Umformulierung dieser Nebenbedingung.
+6. Erweitern Sie Ihre Implementierung um die zusätzliche Nebenbedingung.
+Verwenden Sie $u_{\text{max}} = 0.13$.
 
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