fix

exercise-sheet-5.Rmd

@@ -241,58 +241,9 @@ CasADi's symbolische Variablen definieren, welches auch zur Berechnung von Ablei
 
 ### Pendel auf einem Wagen
 
-Als Beispielproblem betrachten wir ein Pendel, das auf einem Wagen befestigt ist, siehe Abb. 5. Der Mittelpunkt des Wagens hat die horizontale Position $p_x$, welche wir durch Ausüben einer Kraft $ F $ beeinflussen können.
+Als Beispielproblem betrachten wir ein Pendel, das auf einem Wagen befestigt ist, siehe Abb. 5. Der Mittelpunkt des Wagens hat die horizontale Position $p_x$, welche wir durch Ausüben einer Kraft $F$ beeinflussen können.
 Die Auslenkung des Pendels, welches die Länge $l$ hat, ist durch den Winkel $\beta$ beschrieben.
 Der Wagen hat die Masse $M$, und an der Spitze des Pendels ist ein Ball mit Masse $m$ befestigt.
 Auf die Pendelmasse wirkt außerdem die Erdbeschleunigung $g$.
 Die horizontale Geschwindigkeit des Wagens ist $v_x$ und die Winkelgeschwindigkeit des Pendels ist $\omega$.
 Durch Zusammenfassen der (Winkel)positionen und -geschwindigkeiten im Zustandsvektor $x$ können wir das System durch folgende Differentialgleichung beschreiben:
-
-$$
-\dot{x} =
-\begin{bmatrix}
-v_x \\
-\omega
-\end{bmatrix} =
-\begin{bmatrix}
--m \omega^2 \sin \theta + m \omega \cos \theta \sin \theta + F \\
--\frac{m \omega^2 \cos^2 \theta + M (1 - \cos^2 \theta) + \frac{(m + M) g \sin \theta}{l (1 - F \cos \theta)}}{M + \frac{F \cos^2 \theta}{m}}
-\end{bmatrix}.
-$$
-
-Unser Ziel ist es nun das Pendel aus einer herabhängenden Position in eine aufrechte Position ($\beta = 0$) zu schwingen, während der Wagen am Ende die Position $p_x = 0$ haben soll.
-Unser Steuerungseingang ist hierbei $u = F$. Dies soll innerhalb des Zeitintervalls $t \in [0, T]$ passieren.
-Wir drücken dies als das folgende Optimalsteuerungsproblem aus,
-
-$$
-\min_{x(\cdot), u(\cdot)} \int_0^T \frac{1}{2} x(t)^T Q x(t) + \frac{1}{2} u(t)^T R u(t) dt + \frac{1}{2} x(T)^T Q_e x(T)
-$$
-
-unter den Nebenbedingungen
-
-$$
-\begin{aligned}
-x(0) &= x_0, \\
-\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)), \quad t \in [0, T], \\
--u_{\text{max}} &\leq u(t) \leq u_{\text{max}}, \quad t \in [0, T].
-\end{aligned}
-$$
-
-wo bei $\hat{x}_0$ der gegebene initiale Zustand des Systems ist.
-Anders als wir es bisher in der Vorlesung gesehen haben, sind in dem obigen Optimalsteuerungsproblem die Entscheidungsvariablen $x(\cdot)$ und $u(\cdot)$ Funktionen der Zeit.
-Es handelt es sich deshalb nicht um ein NLP, und wir können es auch nicht ohne weiteres auf einem Computer repräsentieren.
-Hierfür muss es erst durch numerische Integration in der Zeit diskretisiert werden, wie wir es bereits in der vorherigen Aufgabe mit dem RK4-Verfahren gemacht haben.
-Da allerdings acados dies für uns übernimmt und eine Vielzahl effizienter Integrationsverfahren hierfür bereitstellt, übergeben wir das Optimalsteuerungsproblem in kontinuierlicher Zeit.
-
-**Aufgaben:**
-
-1. Installieren Sie acados sowie das zugehörige Python-Interface.
-Die Links dafür sind weiter oben gegeben. Versichern Sie sich, dass Ihre Installation funktioniert, indem Sie das Minimalbeispiel `minimal_example_ocp.py` ausführen (vgl. Installationsanleitung Python-Interface).
-2. Das Optimalsteuerungsproblem ist für Sie bereits in `cartpole.py` implementiert. Machen Sie sich kurz mit dem Code vertraut und führen Sie ihn dann aus.
-3. Wir wollen eine zusätzliche Nebenbedingung auf die Geschwindigkeit $v_x$ einführen. Diese ist
-
-$$
--u_{\text{max}} \leq u(t) \leq u_{\text{max}}, \quad t \in [0, T],
-$$
-
-mit $v_x = 5 \, \text{m/s}$. Erweitern Sie `minimal_example_ocp.py` um diese Nebenbedingung, und lösen Sie das Optimalsteuerungsproblem erneut.