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深度学习 Deep Learning

一、CNN卷积神经网络

1、概述

  • 典型的深度学习模型就是很深层的神经网络，包含多个隐含层，多隐层的神经网络很难直接使用BP算法进行直接训练，因为反向传播误差时往往会发散，很难收敛
  • CNN节省训练开销的方式是权共享weight sharing，让一组神经元使用相同的权值
  • 主要用于图像识别领域

2、卷积（Convolution）特征提取

  • 卷积核（Convolution Kernel），也叫过滤器filter，由对应的权值W和偏置b体现

  • 下图是3x3的卷积核在5x5的图像上做卷积的过程，就是矩阵做点乘之后的和 enter description here
    第i个隐含单元的输入就是：$${W_{\rm{i}}}{x_{small}} + {b_i}$$，其中$${x_{small}}$$就时与过滤器filter过滤到的图片

  • 另外上图的步长stride为1，就是每个filter每次移动的距离

  • 卷积特征提取的原理

  • 卷积特征提取利用了自然图像的统计平稳性，这一部分学习的特征也能用在另一部分上，所以对于这个图像上的所有位置，我们都能使用同样的学习特征。

  • 当有多个filter时，我们就可以学到多个特征，例如：轮廓、颜色等

  • 多个过滤器filter（卷积核）

  • 例子如下 enter description here

  • 一张图片有RGB三个颜色通道，则对应的filter过滤器也是三维的，图像经过每个filter做卷积运算后都会得到对应提取特征的图像，途中两个filter:W0和W1,输出的就是两个图像

  • 这里的步长stride为2（一般就取2,3）

  • 在原图上添加zero-padding，它是超参数，主要用于控制输出的大小

  • 同样也是做卷积操作，以下图的一步卷积操作为例：
    与w0[:,:,0]卷积：0x(-1)+0x0+0x1+0x1+0x0+1x(-1)+1x0+1x(-1)+2x0=-2
    与w0[:,:,1]卷积：2x1+1x(-1)+1x1=2
    与w0[:,:,2]卷积：1x(-1)+1x(-1)=-2
    最终结果：-2+2+(-2)+1=-1 (1为偏置) enter description here

3、池化（Pooling）

  • 也叫做下采样
  • Pooling过程
  • 把提取之后的特征看做一个矩阵，并在这个矩阵上划分出几个不重合的区域，
  • 然后在每个区域上计算该区域内特征的均值或最大值，然后用这些均值或最大值参与后续的训练 enter description here -下图是使用最大Pooling的方法之后的结果 enter description here
  • Pooling的好处
  • 很明显就是减少参数
  • Pooling就有平移不变性（(translation invariant） 如图feature map是12x12大小的图片，Pooling区域为6x6,所以池化后得到的feature map为2x2,假设白色像素值为1，灰色像素值为0，若采用max pooling之后，左上角窗口值为1 enter description here
    将图像右移一个像素，左上角窗口值仍然为1
    enter description here
    将图像缩放之后，左上角窗口值仍然为1
    enter description here
  • Pooling的方法中average方法对背景保留更好，max对纹理提取更好
  • 深度学习可以进行多次卷积、池化操作

4、激活层

  • 在每次卷积操作之后一般都会经过一个非线性层，也是激活层
  • 现在一般选择是ReLu,层次越深，相对于其他的函数效果较好，还有Sigmod,tanh函数等 enter description here
  • sigmod和tanh都存在饱和的问题，如上图所示，当x轴上的值较大时，对应的梯度几乎为0，若是利用BP反向传播算法， 可能造成梯度消失的情况，也就学不到东西了

5、全连接层 Fully connected layer

  • 将多次卷积和池化后的图像展开进行全连接，如下图所示。 enter description here
  • 接下来就可以通过BP反向传播进行训练了
  • 所以总结起来，结构可以是这样的 enter description here

6、CNN是如何工作的

  • 看到知乎上的一个回答还不错：https://www.zhihu.com/question/52668301
  • 每个过滤器可以被看成是特征标识符（ feature identifiers）
  • 如下图一个曲线检测器对应的值
    enter description here
  • 我们有一张图片，当过滤器移动到左上角时，进行卷积运算
    enter description here
  • 当与我们的过滤器的形状很相似时，得到的值会很大 enter description here
  • 若是滑动到其他的部分，可以看出很不一样，对应的值就会很小，然后进行激活层的映射。
    enter description here
  • 过滤器filter的值怎么求到，就是我们通过BP训练得到的。

7、CNN的Tensorflow实现

8、CNN公式推导

（1）说明

（2）符号说明

  • l..................当前层
  • $${{M_j}}$$..................输入maps的集合
  • up()..................上采样函数
  • ㅇ....................表示对应每个元素相乘
  • β....................下采样对应的“权重”（定义为常量）
  • $${p_i^{l - 1}}$$...................$${{\rm{x}}_i^{l - 1}}$$中在卷积运算中逐个与$${k_{ij}^l}$$相乘的patch
  • down()..................下采样函数

（3）卷积层

  • 1）卷积层计算公式

  • $${\rm{x}}j^l = f(\sum\limits{i \in {M_j}} {{\rm{x}}i^{l - 1}*k{ij}^l + b_j^l} )$$

  • $${\rm{x}}_j^l$$ 表示第l层的第j个feature map（特征图）

  • 可以对照到上面多个卷积核的例子看

  • j相当于是第几个卷积核

  • i相当于对应卷积核或是map的维度

  • 2）卷积层梯度计算

  • paper中叫做使用BP计算当前层layer单元的灵敏度（sensitivity）

  • 也就是误差的计算，之前我在BP神经网络中推导过，这里不再给出

  • 当前层的第j个unit的灵敏度$$\delta _{\rm{j}}^l$$结果就是：先对下一层的节点（连接到当前层l的感兴趣节点的第l+1层的节点）的灵敏度求和（得到$$\delta _{\rm{j}}^{l + 1}$$），然后乘以这些连接对应的权值（连接第l层感兴趣节点和第l+1层节点的权值）W。再乘以当前层l的该神经元节点的输入u的激活函数f的导数值

  • $$\delta _{\rm{j}}^l = \beta _j^{l + 1}({f^'}(u_j^l) \circ up(\delta _{\rm{j}}^{l + 1}))$$

  • 下采样的“weights”可以定义为常量β（可以查看下面Pooling层输出的表示）

  • up表示上采样操作，因为我们之前假设每个卷积层之后跟着一个Pooling层，所以反向传播需要进行上采样

  • up上采样可以使用克罗内克积（Kronecker）实现，如果A是一个 m x n 的矩阵，而B是一个 p x q 的矩阵，克罗内克积则是一个 mp x nq 的矩阵，$$up({\rm{x}}) = {\rm{x}} \otimes {1_{n \times n}}$$ enter description here

  • 所以偏置的梯度为：$${{\partial E} \over {\partial {b_j}}} = \sum\limits_{u,v} {{{(\delta {\rm{j}}^l)}{uv}}} $$ （因为神经网络中对b的梯度为：($${{\partial E} \over {\partial b}} = {{\partial E} \over {\partial u}}{{\partial u} \over {\partial b}} = \delta $$（δ就是误差，根据定义的代价函数E得来的），其中u为layer的输入：$${u^l} = {W^l}{{\rm{x}}^{l - 1}} + {b^l}$$）

  • 所以卷积核权值的梯度为：$${{\partial E} \over {\partial k_{ij}^l}} = \sum\limits_{u,v} {{{(\delta {\rm{j}}^l)}{uv}}(p_i^{l - 1})uv} $$ （其中：$${p_i^{l - 1}}$$为$${{\rm{x}}_i^{l - 1}}$$中在卷积运算中逐个与$${k_{ij}^l}$$相乘的patch，因为权重的系数就是对应的patch，对权重求导，就是这个系数）

（4）子采样层（Sub-sampling Layers）

  • 1）子采样层计算公式

  • $${\rm{x}}_j^l = f(\beta j^ldown({\rm{x}}{\rm{j}}^{l - 1}) + b_j^l)$$

  • 乘以一个常数权重β，再加上偏置，然后再调用激活函数（这里和上面的pooling的操作有所不同，但总的来数还是下采样的过程）

  • 2）梯度计算

  • 敏感度公式:$$\delta _{\rm{j}}^l = {f^'}(u_j^l) \circ conv2(\delta _{\rm{j}}^{l + 1},rot180(k_j^{l + 1}),'full')$$

  • 和上面的其实类似，就是换成下一层对应的权重k，rot180()是旋转180度，因为卷积的时候是将卷积核旋转180度之后然后在点乘求和的

  • 对偏置b的梯度与上面的一样

  • 对于乘法偏置（文中叫 multiplicative bias）β的梯度为：$${{\partial E} \over {\partial {\beta j}}} = \sum\limits{u,v} {{{(\delta {\rm{j}}^l \circ d_j^l)}{uv}}} $$，其中$$d_j^l = down({\rm{x}}_j^{l - 1})$$

二、权重初始化问题1_Sigmoid\tanh\Softsign激励函数

1、说明

2、实验

  • 论文先是指出了Sigmoid激励函数是不适合作为深度学习的激励函数的，因为它的均值总是大于0的，导致后面隐含层hidden layer的神经元趋于饱和
    enter description here
  • 构建了含有4个隐层的神经网络，激活函数为Sigmoid,观察每一层的激活值的均值和标准差的岁训练次数的变化情况，layer1表示第一个隐含层，一次类推。
  • 初始化权重$${W_{ij}} \sim U[ - {1 \over {\sqrt n }},{1 \over {\sqrt n }}]$$,即服从均匀分布
  • 如下图所示，实线表示均值mean value，垂直的条表示标准差。
  • 因为使用的均匀分布进行的初始化，所以前几层x的均值近似为0，所以对应Sigmoid函数的值就是0.5
  • 但是最后一层layer4的输出很快就饱和了（激活值趋于0）,训练到大100的时候才慢慢恢复正常
  • 作者给出当有5个隐含层的时候，最后一层始终处于饱和状态
  • 标准差反应的是数值的波动，可以看出后面才有了标准差的值
    enter description here
  • 直观解释
  • 最后使用的是softmax(b+Wh)作为预测，刚开始训练的时候不能够很好的预测y的值，因此误差梯度会迫使Wh趋于0，所以会使h的值趋于0
  • h就是上一层的激活输出，所以对应的激活值很快降为0
  • tanh激活函数是关于原点对称的，趋于0是没有问题的，因为梯度能够反向传回去。
    enter description here

3、初试化方法公式推导

  • 首先代价函数使用的是交叉熵代价函数，相比对于二次代价函数会更好，看下对比就知道了，二次代价函数较为平坦，所以使用梯度下降会比较慢。（图中W1表示第一层的权重，W2表示第二层的权重）
    enter description here
  • 以tanh激活函数为例
  • 符号说明
  • $${z^i}$$………………………………第i层的激活值向量
  • $${{\rm{s}}^i}$$………………………………第i+1层的输入
  • x…………………………………输入
  • $${{\rm{n}}_i}$$………………………………..第i层神经元个数
  • W………………………………权重
  • Cost………………………………代价函数
  • 所以第i+1层的输入：
    $${{\rm{s}}^i} = {z^i}{W^i} + {b^i}$$
  • 激活之后的值表示：
    $${z^{i + 1}} = f({s^i})$$，
  • ❶根据BP反向传播可以得到：
    $${{\partial Cost} \over {\partial s_k^i}} = {f^'}(s_k^i)W_{k, \bullet }^{i + 1}{{\partial Cost} \over {\partial {s^{i + 1}}}}$$
  • ❷权重的偏导（梯度）就为：
    $${{\partial Cost} \over {\partial w_{l,k}^i}} = z_l^i{{\partial Cost} \over {\partial s_k^i}}$$
  • 还是BP反向传播的推导，可以查看我之前给的BP反向传播的推导。
  • 它这里W是从0开始的，所以对应可能不太一致。
  • tanh的导数为：
    $${[\tanh (x)]^'} = 1 - {[\tanh (x)]^2}$$
  • 所以：$${f^'}(0) = 1$$
  • 当$$s_k^i$$的很小时，可以得到：$${f^'}(s_k^i) \approx 1$$
  • 这里实际上他是假设激励函数是线性的，下一篇论文中也有提到。
  • 根据方差公式：
    $$Var(x) = E({x^2}) - {E^2}(x)$$ 可以得到❸：
    $$Var[{z^i}] = Var[x]\prod\limits_{j = 0}^{i - 1} {{n_j}Var[{W^j}]} $$，
    推导如下：
  • $$Var(s) = Var(\sum\limits_i^n {{w_i}{x_i}} ) = \sum\limits_i^n {Var({w_i}{x_i})} $$
  • enter description here（式子太长，直接截图的，没用LaTex解析）
  • 因为输入的均值为0，可以得到：$$E(w) = E(x) = 0$$
  • 所以：$$Var(wx) = Var(w)Var(x)$$，代入上面即可。
  • 因为之前$${f^'}(s_k^i) \approx 1$$，所以可以得到❹：
    $$V{\rm{ar}}[{{\partial Cost} \over {\partial {s^i}}}] = Var[{{\partial Cost} \over {\partial {s^n}}}]\prod\limits_{j = i}^n {{n_{j + 1}}Var[{W^j}]} $$
  • 将❸❹代入到对权重w偏导❷（即为梯度）的方差为:$$Var[{{\partial Cost} \over {\partial {w^i}}}] = \prod\limits_{j = 0}^{i - 1} {{n_j}Var[{W^j}]} \prod\limits_{j = i}^{n - 1} {{n_{j + 1}}Var[{W^j}]} * Var[x]Var[{{\partial Cost} \over {\partial {s^n}}}]$$
  • 对于正向传播，我们希望： $$\forall (i,j),Var[{z^i}] = Var[{z^j}]$$
  • 对于反向传播，同样希望：$$\forall (i,j),Var[{{\partial Cost} \over {\partial {s^i}}}] = Var[{{\partial Cost} \over {\partial {s^j}}}]$$
  • 两种情况可以转化为：
    ❺$${n_i}Var[{w^{\rm{i}}}] = 1$$和❻$${n_{i + 1}}Var[{w^{\rm{i}}}] = 1$$
    （比如第一种：
    ，$$V{\rm{ar}}({z^i}) = Var(x)$$ ，所以 $${n_i}Var[{w^{\rm{i}}}] = 1$$，第二种情况同理）
  • ❺❻两式相加得：
    $$Var[{W^i}] = {2 \over {{n_i} + {n_{i + 1}}}}$$
  • 最后提出了一个归一化的初始化方法,因为W服从均匀分布U[-c,c]，根据均匀分布的方差公式得：
    $${{{{[c - ( - c)]}^2}} \over {12}} = {{{c^2}} \over 3}$$
  • 所以：$${2 \over {{n_i} + {n_{i + 1}}}} = {{{c^2}} \over 3}$$
  • 求出，$$c = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt {{n_i} + {n_{i + 1}}} }}$$
  • 所以◆◆最终给出初始化权重的方法为：
    $$W \sim U[ - {{\sqrt 6 } \over {\sqrt {{n_i} + {n_{i + 1}}} }},{{\sqrt 6 } \over {\sqrt {{n_i} + {n_{i + 1}}} }}]$$
  • 这就是Xavier初始化方法

三、权重初始化问题2_ReLu激励函数

1、说明

2、ReLu/PReLu激励函数

  • 目前ReLu激活函数使用比较多，而上面一篇论文没有讨论，如果还是使用同样初始化权重的方法（Xavier初始化）会有问题
  • PReLu函数定义如下：
  • enter description here
  • 等价于：$$f({y_i}) = \max (0,{y_i}) + {a_i}\min (0,{y_i})$$
  • ReLu（左）和PReLu（右）激活函数图像
    enter description here

3、前向传播推导

  • 符号说明
  • ε……………………………………目标函数
  • μ……………………………………动量
  • α……………………………………学习率
  • f()………………………………激励函数
  • l……………………………………当前层
  • L……………………………………神经网络总层数
  • k……………………………………过滤器filter的大小
  • c……………………………………输入通道个数
  • x……………………………………k^2c*1的向量
  • d……………………………………过滤器filter的个数
  • b……………………………………偏置向量
  • $${y_l} = {W_l}{{\rm{x}}_l} + {b_l}$$..............................................................(1)
  • $${{\rm{x}}l} = f({y{l - 1}})$$
  • $${{\rm{c}}l} = {d{l - 1}}$$
  • 根据式(1)得：
    $$Var[{y_l}] = {n_l}Var[{w_l}{x_l}]$$..................................................(2)
  • 因为初始化权重w均值为0，所以期望：$$E({w_l}) = 0$$，方差：$$Var[{w_l}] = E(w_l^2) - {E^2}({w_l}) = E(w_l^2)$$
  • 根据式(2)继续推导：
    enter description here............................................(3)
  • 对于x来说：$$Var[{x_l}] \ne E[x_l^2]$$，除非x的均值也是0,
  • 对于ReLu函数来说：$${x_l} = \max (0,{y_{l - 1}})$$，所以不可能均值为0
  • w满足对称区间的分布，并且偏置$${b_{l - 1}} = 0$$，所以$${y_{l - 1}}$$也满足对称区间的分布，所以：
    enter description here..........................................(4)
  • 将上式(4)代入(3)中得：
    $$Var[{y_l}] = {1 \over 2}{n_l}Var[{w_l}]Var[{y_{l - 1}}]$$.......................................................(5)
  • 所以对于L层:
    $$Var[{y_L}] = Var[{y_1}]\prod\limits_{l = 2}^L {{1 \over 2}{n_l}Var[{w_l}]} $$.....................................................................(6)
  • 从上式可以看出，因为累乘的存在，若是$${1 \over 2}{n_l}Var[{w_l}] < 1$$，每次累乘都会使方差缩小，若是大于1，每次会使方差当大。
  • 所以我们希望：
    $${1 \over 2}{n_l}Var[{w_l}] = 1$$
  • 所以初始化方法为：是w满足均值为0，标准差为$$\sqrt {{2 \over {{n_l}}}} $$的高斯分布，同时偏置初始化为0

4、反向传播推导

  • $$\Delta {{\rm{x}}_l} = \widehat {{W_l}}\Delta {y_l}$$....................................................(7)

  • 假设$$\widehat {{W_l}}$$和$$\Delta {y_l}$$相互独立的

  • 当$$\widehat {{W_l}}$$初始化Wie对称区间的分布时，可以得到：$$\Delta {{\rm{x}}_l}$$的均值为0

  • △x,△y都表示梯度，即：
    $$\Delta {\rm{x}} = {{\partial \varepsilon } \over {\partial {\rm{x}}}}$$，$$\Delta y = {{\partial \varepsilon } \over {\partial y}}$$

  • 根据反向传播：
    $$\Delta {y_l} = {f^'}({y_l})\Delta {x_{l + 1}}$$

  • 对于ReLu函数，f的导数为0或1，且概率是相等的，假设$${f^'}({y_l})$$和$$\Delta {x_{l + 1}}$$是相互独立的，

  • 所以：$$E[\Delta {y_l}] = E[\Delta {x_{l + 1}}]/2 = 0$$

  • 所以：$$E[{(\Delta {y_l})^2}] = Var[\Delta {y_l}] = {1 \over 2}Var[\Delta {x_{l + 1}}]$$...................................................(8)

  • 根据(7)可以得到：
    enter description here

  • 将L层展开得：
    $$Var[\Delta {x_2}] = Var[\Delta {x_{L + 1}}]\prod\limits_{l = 2}^L {{1 \over 2}\widehat {{n_l}}Var[{w_l}]} $$...........................................................(9)

  • 同样令：$${1 \over 2}\widehat {{n_l}}Var[{w_l}] = 1$$

  • 注意这里：$$\widehat {{n_l}} = k_l^2{d_l}$$，而$${n_l} = k_l^2{c_l} = k_l^2{d_{l - 1}}$$

  • 所以$${{\rm{w}}_l}$$应满足均值为0，标准差为：$$\sqrt {{2 \over {\widehat {{n_l}}}}} $$的分布

5、正向和反向传播讨论、实验和PReLu函数

  • 对于正向和反向两种初始化权重的方式都是可以的，论文中的模型都能够收敛

  • 比如利用反向传播得到的初始化得到：$$\prod\limits_{l = 2}^L {{1 \over 2}\widehat {{n_l}}Var[{w_l}]} = 1$$

  • 对应到正向传播中得到：
    enter description here

  • 所以也不是逐渐缩小的

  • 实验给出了与第一篇论文的比较，如下图所示，当神经网络有30层时，Xavier初始化权重的方法（第一篇论文中的方法）已经不能收敛。
    enter description here

  • 对于PReLu激励函数可以得到：$${1 \over 2}(1 + {a^2}){n_l}Var[{w_l}] = 1$$

  • 当a=0时就是对应的ReLu激励函数

  • 当a=1是就是对应线性函数

四、Batch Normalization（BN）批标准化

1、说明

2、论文概述

  • 2015年Google提出的Batch Normalization
  • 训练深层的神经网络很复杂，因为训练时每一层输入的分布在变化，导致训练过程中的饱和，称这种现象为：internal covariate shift
  • 需要降低学习率Learning Rate和注意参数的初始化
  • 论文中提出的方法是对于每一个小的训练batch都进行标准化（正态化）
  • 允许使用较大的学习率
  • 不必太关心初始化的问题
  • 同时一些例子中不需要使用Dropout方法避免过拟合
  • 此方法在ImageNet classification比赛中获得4.82% top-5的测试错误率

3、BN思路

  • 如果输入数据是白化的（whitened），网络会更快的收敛

  • 白化目的是降低数据的冗余性和特征的相关性，例如通过线性变换使数据为0均值和单位方差

  • 并非直接标准化每一层那么简单，如果不考虑归一化的影响，可能会降低梯度下降的影响

  • 标准化与某个样本和所有样本都有关系

  • 解决上面的问题，我们希望对于任何参数值，都要满足想要的分布；

  • $$\widehat x{\rm{ = }}N{\rm{orm}}({\rm{x}},\chi )$$

  • 对于反向传播，需要计算:$${{\partial N{\rm{orm}}({\rm{x}},\chi )} \over {\partial {\rm{x}}}}$$和$${{\partial N{\rm{orm}}({\rm{x}},\chi )} \over {\partial \chi }}$$

  • 这样做的计算代价是非常大的，因为需要计算x的协方差矩阵

  • 然后白化操作：$${{{\rm{x}} - E[{\rm{x}}]} \over {\sqrt {Cov[{\rm{x}}]} }}$$

  • 上面两种都不行或是不好，进而得到了BN的方法

  • 既然白化每一层的输入代价非常大，我们可以进行简化

  • 简化1

  • 标准化特征的每一个维度而不是去标准化所有的特征，这样就不用求协方差矩阵了

  • 例如d维的输入：$${\rm{x}} = ({x^{(1)}},{x^{(2)}}, \cdots ,{x^{(d)}})$$

  • 标准化操作：
    $${\widehat x^{(k)}} = {{{x^{(k)}} - E[{x^{(k)}}]} \over {\sqrt {Var[{{\rm{x}}^{(k)}}]} }}$$

  • 需要注意的是标准化操作可能会降低数据的表达能力,例如我们之前提到的Sigmoid函数：
    enter description here

  • 标准化之后均值为0，方差为1，数据就会落在近似线性的函数区域内，这样激活函数的意义就不明显

  • 所以对于每个 ，对应一对参数：$${\gamma ^{(k)}},{\beta ^{(k)}}$$ ，然后令：$${y^{(k)}} = {\gamma ^{(k)}}{\widehat x^{(k)}} + {\beta ^{(k)}}$$

  • 从式子来看就是对标准化的数据进行缩放和平移，不至于使数据落在线性区域内，增加数据的表达能力（式子中如果：$${\gamma ^{(k)}} = \sqrt {Var[{{\rm{x}}^{(k)}}]} $$，$${\beta ^{(k)}} = E[{x^{(k)}}]$$ ，就会使恢复到原来的值了）

  • 但是这里还是使用的全部的数据集，但是如果使用随机梯度下降，可以选取一个batch进行训练

  • 简化2

  • 第二种简化就是使用mini-batch进行随机梯度下降

  • 注意这里使用mini-batch也是标准化每一个维度上的特征，而不是所有的特征一起，因为若果mini-batch中的数据量小于特征的维度时，会产生奇异协方差矩阵， 对应的行列式的值为0，非满秩

  • 假设mini-batch 大小为m的B

  • $$B = { {x_{1 \ldots m}}} $$，对应的变换操作为：$$B{N_{\gamma ,\beta }}:{x_{1 \ldots m}} \to {y_{1 \ldots m}}$$

  • 作者给出的批标准化的算法如下：
    enter description here

  • 算法中的ε是一个常量，为了保证数值的稳定性

  • 反向传播求梯度：

  • 因为：$${y^{(k)}} = {\gamma ^{(k)}}{\widehat x^{(k)}} + {\beta ^{(k)}}$$

  • 所以：$${{\partial l} \over {\partial {{\widehat x}_i}}} = {{\partial l} \over {\partial {y_i}}}\gamma $$

  • 因为：$${\widehat x_i} = {{{x_i} - {\mu _B}} \over {\sqrt {\sigma _B^2 + \varepsilon } }}$$

  • 所以：$${{\partial l} \over {\partial \sigma B^2}} = {\sum\limits{i = 1}^m {{{\partial l} \over {\partial {{\widehat x}_i}}}({x_i} - {u_B}){{ - 1} \over 2}(\sigma _B^2 + \varepsilon )} ^{ - {3 \over 2}}}$$

  • $${{\partial l} \over {\partial {u_B}}} = \sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^m {{{\partial l} \over {\partial {{\widehat x}_i}}}} {{ - 1} \over {\sqrt {\sigma _B^2 + \varepsilon } }}$$

  • 因为：$${\mu B} = {1 \over m}\sum\limits{i = 1}^m {{x_i}} $$和$$\sigma B^2 = {1 \over m}\sum\limits{i = 1}^m {({x_i}} - {\mu _B}{)^2}$$

  • 所以：$${{\partial l} \over {\partial {x_i}}} = {{\partial l} \over {\partial {{\widehat x}_i}}}{1 \over {\sqrt {\sigma _B^2 + \varepsilon } }} + {{\partial l} \over {\partial \sigma _B^2}}{{2({x_i} - {\mu _B})} \over m} + {{\partial l} \over {\partial {u_B}}}{1 \over m}$$

  • 所以：$${{\partial l} \over {\partial \gamma }} = \sum\limits_{i = 1}^m {{{\partial l} \over {\partial {y_i}}}} {\widehat x_i}$$

  • $${{\partial l} \over {\partial \beta }} = \sum\limits_{i = 1}^m {{{\partial l} \over {\partial {y_i}}}} $$

  • 对于BN变换是可微分的，随着网络的训练，网络层可以持续学到输入的分布。

4、BN网络的训练和推断

  • 按照BN方法，输入数据x会经过变化得到BN（x），然后可以通过随机梯度下降进行训练，标准化是在mini-batch上所以是非常高效的。
  • 但是对于推断我们希望输出只取决于输入，而对于输入只有一个实例数据，无法得到mini-batch的其他实例，就无法求对应的均值和方差了。
  • 可以通过从所有训练实例中获得的统计量来代替mini-batch中m个训练实例获得统计量均值和方差
  • 我们对每个mini-batch做标准化，可以对记住每个mini-batch的B，然后得到全局统计量
  • $$E[x] \leftarrow {E_B}[{\mu _B}]$$
  • $$Var[x] \leftarrow {m \over {m - 1}}{E_B}[\sigma _B^2]$$（这里方差采用的是无偏方差估计）
  • 所以推断采用BN的方式为：
  • $$\eqalign{ & y = \gamma {{x - E(x)} \over {\sqrt {Var[x] + \varepsilon } }} + \beta \cr & {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = {\gamma \over {\sqrt {Var[x] + \varepsilon } }}x + (\beta - {{\gamma E[x]} \over {\sqrt {Var[x] + \varepsilon } }}) \cr} $$
  • 作者给出的完整算法：
    enter description here

5、实验

  • 最后给出的实验可以看出使用BN的方式训练精准度很高而且很稳定。 enter description here

五、RNN和LSTM_01基础

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